Giải Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Phân thức đại số

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 35 sgk Toán 8 Tập 1: Em hãy viết một phân thức đại số.

Phương pháp giải: Phân thức đại số ( phân thức ) là một biếu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A, B$ là những đa thức $B \neq 0, A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức.

Lời giải:

Ví dụ: $\frac{2 x + 3}{3 x^{4} - x^{2} + 7}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 35 sgk Toán 8 Tập 1: Một số thực $a$ bất kì có phải là một phân thức không ? Vì sao ?

Lời giải:

Một số thực $a$ bất kì có là một phân thức vì nó viết được dưới dạng $\frac{A}{B}$ trong đó $A, B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức $0$ .

Ví dụ:

$3 = \frac{3 x^{2} - 3 x + 18}{x^{2} - x + 6}$

$7 = \frac{7 (x + 1)}{x + 1}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 35 sgk Toán 8 Tập 1: Có thể kết luận $\frac{3 x^{2} y}{6 x y^{3}} = \frac{x}{2 y^{2}}$ hay không?

Phương pháp giải: Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $A D = B C$

Lời giải:

Xét các tích chéo:

$\begin{aligned} 3 x^{2} y .2 y^{2} = (3.2) . x^{2} . (y . y^{2}) = 6 x^{2} y^{3} \\ 6 x y^{3} . x = 6. (x . x) . y^{3} = 6 x^{2} y^{3} \end{aligned}$

$\Rightarrow 3 x^{2} y .2 y^{2} = 6 x y^{3} . x$ $(= 6 x^{2} y^{3})$

Vậy $\frac{3 x^{2} y}{6 x y^{3}} = \frac{x}{2 y^{2}}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 35 sgk Toán 8 Tập 1: Xét xem hai phân thức $\frac{x}{3}$ và $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 6}$ có bằng nhau không?

Phương pháp giải: Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $A D = B C$

Lời giải:

$\begin{aligned} x . (3 x + 6) = x .3 x + x .6 = 3 x^{2} + 6 x \\ 3. (x^{2} + 2 x) = 3. x^{2} + 3.2 x = 3 x^{2} + 6 x \\ \Rightarrow x . (3 x + 6) = 3. (x^{2} + 2 x) \\ Vậy \frac{x}{3} = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 6} \end{aligned}$

Trả lời câu hỏi 5 trang 35 sgk Toán 8 Tập 1: Bạn Quang nói rằng: $\frac{3 x + 3}{3 x} = 3$ , còn bạn Vân thì nói: $\frac{3 x + 3}{3 x} = \frac{x + 1}{x}$ .

Theo em, ai nói đúng?

Phương pháp giải: Áp dụng: – Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $A D = B C$

– Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{aligned} \frac{3 x + 3}{3 x} = 3 \\ \Rightarrow \frac{3 x + 3}{3 x} = \frac{3}{1} \\ Ta có tích chéo \\ (3 x + 3) .1 = 3 x + 3 \\ 3 x .3 = 9 x \\ \Rightarrow (3 x + 3) .1 \neq 3 x .3 \\ \Rightarrow \frac{3 x + 3}{3 x} \neq 3 \end{aligned}$

Ta có:

$\frac{3 x + 3}{3 x} = \frac{x + 1}{x}$

Xét tích chéo:

$\begin{aligned} x . (3 x + 3) = x .3 x + x .3 = 3 x^{2} + 3 x \\ 3 x . (x + 1) = 3 x . x + 3 x .1 = 3 x^{2} + 3 x \\ \Rightarrow x . (3 x + 3) = 3 x . (x + 1) \\ \Rightarrow \frac{3 x + 3}{3 x} = \frac{x + 1}{x} \end{aligned}$

Vậy bạn Vân nói đúng, Quang nói sai.

Câu hỏi và bài tập (trang 36 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 1 trang 36 sgk Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) $\frac{5 y}{7} = \frac{20 x y}{28 x}$ ;

b) $\frac{3 x (x + 5)}{2 (x + 5)} = \frac{3 x}{2}$ ;

c) $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x + 2) (x + 1)}{x^{2} - 1}$ ;

d) $\frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ ;

e) $\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 2 x + 4} = x + 2$ ;

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

a) $\frac{5 y}{7} = \frac{20 x y}{28 x}$

$\begin{matrix} 5 y .28 x = 140 x y \\ 7.20 x y = 140 x y \end{matrix}}$ $\Rightarrow 5 y .28 x = 7.20 x y$

nên $\frac{5 y}{7} = \frac{20 x y}{28 x}$

b) $\frac{3 x (x + 5)}{2 (x + 5)} = \frac{3 x}{2}$

Xét tích chéo:

$3 x (x + 5) .2 = 6 x (x + 5)$

$3 x .2 (x + 5) = 6 x (x + 5)$

Suy ra $3 x (x + 5) .2 = 3 x .2 (x + 5)$

Do đó $\frac{3 x (x + 5)}{2 (x + 5)} = \frac{3 x}{2}$

c) $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x + 2) (x + 1)}{x^{2} - 1}$ ;

Xét tích chéo:

$(x + 2) (x^{2} - 1)$ $= (x + 2) (x + 1) (x - 1)$ .

Nên $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x + 2) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

d) $\frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$

$\begin{array}{l} (x^{2} - x - 2) (x - 1) \\ = (x^{2} - 2 x + x - 2) (x - 1) \\ = [x (x - 2) + (x - 2)] (x - 1) \\ = (x - 2) (x + 1) (x - 1) \\ (x + 1) (x^{2} - 3 x + 2) \\ = (x + 1) (x^{2} - 2 x - x + 2) \\ = (x + 1) [x (x - 2) - (x - 2)] \\ = (x + 1) (x - 2) (x - 1) \end{array}$

$\Rightarrow (x^{2} - x - 2) (x - 1) =$ $(x + 1) (x^{2} - 3 x + 2)$

Vậy $\frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$

Cách khác:

$(x^{2} - x - 2) (x - 1)$ $= x^{2} . x + x^{2} . (- 1) + (- x) . x$ $+ (- x) . (- 1) + (- 2) . x + (- 2) . (- 1)$ $= x^{3} - x^{2} - x^{2} + x - 2 x + 2$ $= x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

$(x + 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ $= x . x^{2} + x . (- 3 x) + x .2 + 1. x^{2}$ $+ 1. (- 3 x) + 1.2$ $= x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + x^{2} - 3 x + 2$ $= x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

$\Rightarrow (x^{2} - x - 2) (x - 1) =$ $(x + 1) (x^{2} - 3 x + 2)$

Vậy $\frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$

e) $\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 2 x + 4} = x + 2$ ;

Ta có: $\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 2 x + 4} = x + 2$

Suy ra $\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{x + 2}{1}$

Xét tích chéo:

$(x^{3} + 8) .1 = x^{3} + 2^{3}$ $= (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Do đó: $\frac{x^{3} + 8}{x^{2} - 2 x + 4} = x + 2$

Bài 2 trang 36 sgk Toán 8 Tập 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + x}$ ; $\frac{x - 3}{x}$ ; $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - x}$

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A D = B C$ , ta lần lượt xét từng cặp phân thức xem có bằng nhau không.

Lời giải:

+) Kiểm tra $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + x}$ và $\frac{x - 3}{x}$

Xét các tích chéo, ta có:

*) $(x^{2} - 2 x - 3) x = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$

*) $(x^{2} + x) (x - 3)$ $= x^{3} - 3 x^{2} + x^{2} - 3 x$ $= x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$

Nên $(x^{2} - 2 x - 3) x = (x^{2} + x) (x - 3)$

Do đó: $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + x} = \frac{x - 3}{x}$ (1)

+) Kiểm tra $\frac{x - 3}{x}$ và $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - x}$

Xét các tích chéo, ta có:

*) $(x - 3) (x^{2} - x) = x^{3} - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x$ $= x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$

*) $x (x^{2} - 4 x + 3) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$

Nên $(x - 3) (x^{2} - x) = x (x^{2} - 4 x + 3)$

Do đó $\frac{x - 3}{x} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - x}$ (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra: $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + x} = \frac{x - 3}{x} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - x}$

Bài 3 trang 36 sgk Toán 8 Tập 1: Cho ba đa thức : $x^{2} - 4 x; x^{2} + 4; x^{2} + 4 x .$

Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

$\frac{. . .}{x^{2} - 16} = \frac{x}{x - 4}$

Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $A D = B C .$

Lời giải:

Ta có: $\frac{. . .}{x^{2} - 16} = \frac{x}{x - 4}$

$\Rightarrow (\dots) (x - 4) = x (x^{2} - 16)$

$\Rightarrow (\dots) (x - 4) = x (x + 4) (x - 4)$

$\Rightarrow (\dots) (x - 4) = (x^{2} + 4 x) (x - 4)$

$\Rightarrow (\dots) = x^{2} + 4 x$

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức $x^{2} + 4 x .$

Lý thuyết về phân thức đại số

1. Phân thức đại số:

Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A, B$ là những đa thức và $B$ khác 0. $A$ được gọi là tử thức (hay tử); $B$ được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .

Ví dụ: $\frac{x}{x + 1}$ là một phân thức đại số. Số $2$ cũng là một phân thức đại số dưới dạng $\frac{2}{1} .$

Hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ $(B \neq 0, D \neq 0)$ , ta nói $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A . D = B . C$

Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

+ $\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác $0$ )

+ $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

Qui tắc đổi dấu: Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$

Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau :

+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức: $\frac{A}{B} = - \frac{- A}{B}$

+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $\frac{A}{B} = - \frac{A}{- B}$

+ Đổi dấu mẫu : $\frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định.

Phương pháp: Phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq 0.$

Dạng 2: Tìm giá trị của biến số $x$ để phân thức $\frac{A}{B}$ nhận giá trị $m$ cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: $B \neq 0$

Bước 2: Từ giả thiết ta có $\frac{A}{B} = m$ . Từ đó tìm được $x .$

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của $x$ để hai phân thức bằng nhau.

Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ $(B \neq 0, D \neq 0)$ , ta nói $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A . D = B . C$

+ $\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác $0$ )

+ $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$ )

+ $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B} .$

Giải Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số (ảnh 2)

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy