Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 14 sgk Toán 8 Tập 1: Tính $(a + b) (a^{2} - a b + b^{})$ (với $a, b$ là hai số tùy ý).

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức

Lời giải:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 4)

Trả lời câu hỏi 2 trang 15 sgk Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (6) bằng lời.

Áp dụng:

a) Viết $x^{3} + 8$ dưới dạng tích

b) Viết $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ dưới dạng tổng

Phương pháp giải: Hằng đẳng thức $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ (6)

Lời giải:

Phát biểu: Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Áp dụng:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 5)

Trả lời câu hỏi 3 trang 15 sgk Toán 8 Tập 1: Tính $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ (với $a, b$ là các số tùy ý).

Lời giải:

$\begin{aligned} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \\ = a (a^{2} + a b + b^{2}) - b (a^{2} + a b + b^{2}) \\ = a . a^{2} + a . a b + a . b^{2} + (- b) . a^{2} + (- b) . a b + (- b) . b^{2} \\ = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} \\ = a^{3} + (a^{2} b - a^{2} b) + (a b^{2} - a b^{2}) - b^{3} \\ = a^{3} - b^{3} \end{aligned}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 15 sgk Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (7) bằng lời.

Áp dụng:

a) Tính $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

b) Viết $8 x^{3} - y^{3}$ dưới dạng tích

c) Hãy đánh dấu x vào ô có đáp án đúng của tích: $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 1)

Phương pháp giải: Hằng đẳng thức $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ (7)

Lời giải:

Phát biểu: Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Áp dụng:

$\begin{array}{l} a) (x - 1) (x^{2} + x + 1) \\ = (x - 1) (x^{2} + x .1 + 1^{2}) \\ = x^{3} - 1^{3} = x - 1 \\ b) 8 x^{3} - y^{3} \\ = {(2 x)}^{3} - y^{3} \\ = (2 x - y) [{(2 x)}^{2} + 2 x . y + y^{2}] \\ = (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) \\ c) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) \\ = (x + 2) (x^{2} - x .2 + 2^{2}) \\ = x^{3} + 2^{3} = x^{3} + 8 \end{array}$

Vậy ta đánh dấu x vào ô như sau:
Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 3)

Câu hỏi và bài tập (trang 16, 17 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 30 trang 16 sgk Toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - (54 + x^{3})$

b) $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) - (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Phương pháp giải: Áp dụng: Hằng đẳng thức tổng hai lập phương, quy tắc phá dấu ngoặc.

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

Lời giải:

$\begin{aligned} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - (54 + x^{3}) \\ = (x + 3) (x^{2} - x .3 + 3^{2}) - (54 + x^{3}) \\ = x^{3} + 3^{3} - (54 + x^{3}) \\ = x^{3} + 27 - 54 - x^{3} \\ = (x^{3} - x^{3}) + (27 - 54) \\ = - 27 \end{aligned}$

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 6)

Bài 31 trang 16 sgk Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:

a) $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

b) $a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Áp dụng: Tính $a^{3} + b^{3}$ , biết $a . b = 6$ và $a + b = - 5.$

Phương pháp giải: – Biến đổi vế phải của đẳng thức về vế trái đẳng thức.

– Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một tổng hoặc một hiệu, tổng (hiệu) hai lập phương, nhân đơn thức với đa thức.

Lời giải:

a) $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + (- 3 a b) . a + (- 3 a b) . b \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} \\ = a^{3} + (3 a^{2} b - 3 a^{2} b) + (3 a b^{2} - 3 a b^{2}) + b^{3} \\ = a^{3} + b^{3} \end{aligned}$

Vậy $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

b) $a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b) \\ = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + 3 a b . a + 3 a b . (- b) \\ = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} \\ = a^{3} + (3 a^{2} b - 3 a^{2} b) + (3 a b^{2} - 3 a b^{2}) - b^{3} \\ = a^{3} - b^{3} \end{aligned}$

Vậy $a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Áp dụng:

Với $a b = 6, a + b = - 5$ , ta được:

$\begin{aligned} a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) \\ = {(- 5)}^{3} - 3.6. (- 5) \\ = - 125 + 90 = - 35 \end{aligned}$

Bài 32 trang 16 sgk Toán 8 tập 1: Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 7)

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 8)

Phương pháp giải: Áp dụng: Hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{aligned} 27 x^{3} + y^{3} \\ = {(3 x)}^{3} + y^{3} \\ = (3 x + y) [{(3 x)}^{2} - 3 x . y + y^{2}] \\ = (3 x + y) (9 x^{2} - 3 x y + y^{2}) \end{aligned}$

Suy ra:

$(3 x + y) ($ $9 x^{2} - 3 x y + y^{2}$ $) = 27 x^{3} + y^{3}$

b) Ta có:

$\begin{aligned} 8 x^{3} - 125 \\ = {(2 x)}^{3} - 5^{3} \\ = (2 x - 5) [{(2 x)}^{2} + 2 x .5 + 5^{2}] \\ = (2 x - 5) (4 x^{2} + 10 x + 25) \end{aligned}$

Suy ra:

$(2 x -$ $5$ $) ($ $4 x^{2}$ $+ 10 x +$ $25$ $) = 8 x^{3} - 125$

Bài 33 trang 16 sgk Toán 8 tập 1: Tính:

a) $\begin{aligned} {(2 + x y)}^{2} \end{aligned}$ ;

b) $\begin{aligned} {(5 - 3 x)}^{2} \end{aligned}$ ;

c) $\begin{aligned} (5 - x^{2}) (5 + x^{2}) \end{aligned}$ ;

d) $\begin{aligned} {(5 x - 1)}^{3} \end{aligned}$ ;

e) $\begin{aligned} (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) \end{aligned}$ ;

f) $\begin{aligned} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) \end{aligned}$ .

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển biểu thức đó.

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

$\begin{aligned} {(2 + x y)}^{2} = 2^{2} + 2.2. x y + {(x y)}^{2} \\ = 4 + 4 x y + x^{2} y^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} {(5 - 3 x)}^{2} = 5^{2} - 2.5.3 x + {(3 x)}^{2} \\ = 25 - 30 x + 9 x^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (5 - x^{2}) (5 + x^{2}) = 5^{2} - (x^{2})^{2} \\ = 25 - x^{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} {(5 x - 1)}^{3} = {(5 x)}^{3} - 3. {(5 x)}^{2} .1 + 3.5 x {.1}^{2} - 1^{3} \\ = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) \\ = (2 x - y) [{(2 x)}^{2} + 2 x . y + y^{2}] \\ = {(2 x)}^{3} - y^{3} = 8 x^{3} - y^{3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) \\ = (x + 3) (x^{2} - x .3 + 3^{2}) \\ = x^{3} + 3^{3} = x^{3} + 27 \end{aligned}$

Bài 34 trang 17 sgk Toán 8 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}$ ;

b) ${(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3} - 2 b^{3}$ ;

c) ${(x + y + z)}^{2} - 2 (x + y + z) (x + y) + {(x + y)}^{2}$ .

Lời giải:

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

$1) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

$2) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

$3) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$

Lời giải:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} \\ = (a^{2} - a^{2}) + 2 a b + 2 a b + (b^{2} - b^{2}) \\ = 4 a b \end{aligned}$

Cách 2:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} \\ = [(a + b) + (a - b)] . [(a + b) - (a - b)] \\ = (a + b + a - b) (a + b - a + b) \\ = 2 a .2 b = 4 a b \end{aligned}$

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

$4) {(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

$5) {(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

$7) A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Lời giải:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 1)

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

$2) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Hoặc áp dụng kết quả:

${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 x z$

Lời giải:

Đặt $A = x + y + z; B = x + y$

Ta có:

$\begin{aligned} {(x + y + z)}^{2} - 2 (x + y + z) (x + y) + {(x + y)}^{2} \\ = A^{2} - 2 A B + B^{2} = {(A - B)}^{2} \\ = {[(x + y + z) - (x + y)]}^{2} \\ = {(x + y + z - x - y)}^{2} = z^{2} \end{aligned}$

Cách 2:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 2)

Bài 35 trang 17 sgk Toán 8 tập 1: Tính nhanh:

a) $\begin{aligned} 34^{2} + 66^{2} + 68.66 \end{aligned}$

b) $\begin{aligned} 74^{2} + 24^{2} - 48.74 \end{aligned}$

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: bình phương của một tổng.

$1) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

$\begin{aligned} 34^{2} + 66^{2} + 68.66 \\ = 34^{2} + 68.66 + 66^{2} \\ = 34^{2} + 2.34.66 + 66^{2} \\ = {(34 + 66)}^{2} \\ = 100^{2} = 10000 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 74^{2} + 24^{2} - 48.74 \\ = 74^{2} - 48.74 + 24^{2} \\ = 74^{2} - 2.74.24 + 24^{2} \\ = {(74 - 24)}^{2} \\ = 50^{2} = 2500 \end{aligned}$

Bài 36 trang 17 sgk Toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $x^{2} + 4 x + 4$ tại $x = 98$ ;

b) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ tại $x = 99$

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để rút gọn biểu thức, sau đó thay giá trị của $x$ để tính giá trị của biểu thức.

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

$x^{2} + 4 x + 4$

$= x^{2} + 2. x .2 + 2^{2}$

$= {(x + 2)}^{2}$

Với $x = 98$ ta có: ${(98 + 2)}^{2} = 100^{2} = 10000$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

$= x^{3} + 3. x^{2} .1 + 3. x {.1}^{2} + 1^{3}$

$= {(x + 1)}^{3}$

Với $x = 99$ ta có: ${(99 + 1)}^{3} = 100^{3} = 1000000$ .

Bài 37 trang 17 sgk Toán 8 tập 1: Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu)
Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 3)

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

$1) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

$2) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

$3) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$

$4) {(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

$5) {(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

$6) A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

$7) A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Lời giải:

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (ảnh 4)

Bài 38 trang 17 sgk Toán 8 tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$ ;

b) ${(- a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2}$

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một hiệu, sử dụng quy tắc dấu ngoặc, ta biến đổi một vế của đẳng thức thành vế còn lại, ta được điều phải chứng minh.

$5) {(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Lời giải:

a) ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$

Biến đổi vế phải thành vế trái:

$\begin{aligned} - {(b - a)}^{3} = - (b^{3} - 3 b^{2} a + 3 b a^{2} - a^{3}) \\ = - b^{3} + 3 b^{2} a - 3 b a^{2} + a^{3} \\ = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \\ = {(a - b)}^{3} \end{aligned}$

Vậy ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$

Cách 2: Sử dụng quy tắc dấu ngoặc

$\begin{aligned} {(a - b)}^{3} = {[- (b - a)]}^{3} = {[(- 1) . (b - a)]}^{3} \\ = {(- 1)}^{3} . {(b - a)}^{3} = (- 1) . {(b - a)}^{3} \\ = - {(b - a)}^{3} \end{aligned}$

${(- a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2}$

Biến đổi vế trái thành vế phải:

$\begin{aligned} {(- a - b)}^{2} = {[(- a) + (- b)]}^{2} \\ = {(- a)}^{2} + 2. (- a) . (- b) + {(- b)}^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} \end{aligned}$

Vậy ${(- a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2}$

Cách 2: Sử dụng quy tắc dấu ngoặc

$\begin{aligned} {(- a - b)}^{2} = {[- (a + b)]}^{2} \\ = {[(- 1) . (a + b)]}^{2} \\ = {(- 1)}^{2} . {(a + b)}^{2} \\ = 1. {(a + b)}^{2} = {(a + b)}^{2} \end{aligned}$

Lý thuyết những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

6. Tổng hai lập phương: Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

7. Hiệu hai lập phương: Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

$1. {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

$2. {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

$3. A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$

$4. {(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

$5. {(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

$6. A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

$7. A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Ta có: $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ $= (x - 1) (x^{2} + x .1 + 1^{2}) = x^{3} - 1$

Dạng 2: Tìm $x$

Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm $x$ thường gặp

Ví dụ: Tìm $x$ biết $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 8$

Ta có:

$\begin{array}{l} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 8 \\ \Rightarrow x^{3} + 2^{3} = 8 \\ \Rightarrow x^{3} + 8 = 8 \\ \Rightarrow x^{3} = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \end{array}$

Vậy $x = 0.$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy