20 Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Tính chất đường phân giác của tam giác

A. Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1: Cho hình vẽ dưới đây.

a) Tính $\frac{x}{y}$ .

b) Tính x khi y = 5.

Hướng dẫn giải

a) Từ hình vẽ ta có AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}hay\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{7,5}}=\frac{x}{y}$.

Suy ra: $\frac{x}{y}=\frac{7}{15}$ .

b) Khi y = 5 thì x = $5\cdot \frac{7}{15}=\frac{7}{3}$ .

Bài 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.

Hướng dẫn giải

Vì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC, nên ta có

 $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$(1)

AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC, ta có:

 $\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Từ $\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}$ ⇒ DB = $\frac{2}{5}$ BC = $\frac{2}{5}$  . 10 = 4 (cm).

Từ $\frac{EB}{EC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{EB}{BC}=2$  ⇒ EB = 2BC = 2 . 10 = 20 (cm).

Vậy DB = 4 cm và EB = 20 cm.

B. Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí: (Tính chất đường phân giác của tam giác) Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

2. Chứng minh định lí

Vẽ đường thẳng qua B, song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E.

Theo giả thiết, AD là phân giác của góc A nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ .

Ta có: EB // AD nên $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc so le trong);

$\widehat{A_2}=\hat{E}$(hai góc đồng vị).

Do đó:   nên tam giác AEB cân tại A.

Suy ra: AE = AB (1).

Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác CEB, ta có:

 $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}$(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

Chú ý: Trong tam giác ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thỏa mãn $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$  thì AD là đường phân giác của góc A.

Ví dụ: Tính độ dài x trong hình dưới đây biết AM là đường phân giác của góc A.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có AM là đường phân giác của góc A.

Do đó ta có: 

$\frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}hay\frac{x}{10}=\frac{20}{15}$.

Suy ra: x = $\frac{20\cdot 10}{15}=\frac{40}{3}$ .

Video bài giảng Toán 8 Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác – Kết nối tri thức