20 Bài tập Các phép tính với đa thức nhiều biến (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Các phép tính với đa thức nhiều biến

A. Bài tập Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 1. Tính tổng và hiệu của hai đa thức:

P = 2x²y – x³ + xy² – 7 và Q = x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6.

Hướng dẫn giải

P + Q = (2x²y – x³ + xy² – 7) + (x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6)

          = 2x²y – x³ + xy² – 7 + x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6

          = (2x²y + 3x²y) + (– x³ + x³) + (xy² – xy²) + (– 7 + 6) + 2xy

          = 5x²y – 1 + 2xy

P – Q = (2x²y – x³ + xy² – 7) – (x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6)

          = 2x²y – x³ + xy² – 7 – x³ + xy² – 2xy – 3x²y – 6

          = (2x²y – 3x²y) + (– x³ – x³) + (xy²  + xy²) + (– 7 – 6) – 2xy

          = – x²y – 2x³ + 2xy² – 13 – 2xy.

Bài 2. Cho ba đa thức:

M = 5x³ + 4x²y – 3x + y; N = 6xy + 3x – 2; P = 4x³ – 2x²y + 6x + 1.

a) Tính M + N – P.

b) Tính M – N + P.

Hướng dẫn giải

a) M + N – P = (5x³ + 4x²y – 3x + y) + (6xy + 3x – 2) – (4x³ – 2x²y + 6x + 1)

                      = 5x³ + 4x²y – 3x + y + 6xy + 3x – 2 – 4x³ + 2x²y – 6x – 1

                      = (5x³ – 4x³) + (4x²y + 2x²y) + (– 3x + 3x – 6x) + y + 6xy + (– 2 – 1)

                      = x³ + 6x²y – 6x + y + 6xy – 3.

b) M – N + P = (5x³ + 4x²y – 3x + y) – (6xy + 3x – 2) + (4x³ – 2x²y + 6x + 1)

                      = 5x³ + 4x²y – 3x + y – 6xy – 3x + 2 + 4x³ – 2x²y + 6x + 1

                      = (5x³ + 4x³) + (4x²y – 2x²y) + (– 3x – 3x + 6x) + y – 6xy + (2 + 1)

                      = 9x³ + 2x²y + y – 6xy + 3.

Bài 3. Cho:

A – 6x² + xyz = xy + 3x² + 5xyz – 2;

5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 – B = – x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y;

a) Tìm đa thức A, B.

b) Tính giá trị của đa thức A và B tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Hướng dẫn giải

a)

A – 6x² + xyz = xy + 3x² + 5xyz – 2

A = xy + 3x² + 5xyz – 2 – (– 6x² + xyz)

A = xy + 3x² + 5xyz – 2 + 6x² – xyz

A = xy + (3x² + 6x²)  + (5xyz – xyz) – 2

A = xy + 9x² + 4xyz – 2

Vậy đa thức A = xy + 9x² + 4xyz – 2.

5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 – B = – x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y

B = (5x² – 2x³y + 7x³y² – 8) – (– x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y)

B = 5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 + x³y² – 2x³y – 3xy² + 5x² – 2y

B = (5x² + 5x²)  + (– 2x³y – 2x³y) + (7x³y² + x³y²) – 8 – 3xy² – 2y

B = 10x² – 4x³y + 8x³y² – 8 – 3xy² – 2y

b)

Thay x = 0; y = – 1; z = 2 và đa thức A, ta được:

A = 0.(– 1) + 9.0² + 4.0.(– 1).2 – 2

A = – 2

Vậy A = – 2 tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Thay x = 0; y = – 1; z = 2 và đa thức B, ta được:

B = 10.0² – 4.0³.(– 1) + 8.0³.(– 1)² – 8 – 3.0.(– 1) ² – 2.(– 1)

B = – 8 + 2

B = – 6

Vậy B = – 6 tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Bài 4.Tính:

Hướng dẫn giải

a) 5x – y + (x + 3y)

= 5x – y + x + 3y

= (5x + x) + (–y + 3y)

= 6x + 2y.

b) x² + 3y + 2xy² – (x + xy – xy² + 3x²)

= x² + 3y + 2xy² – x – xy + xy² – 3x²

= (x² – 3x²) + 3y + (2xy² + xy²) – x – xy

= –2x² + 3y + 3xy² – x – xy.

Bài 5.Thực hiện phép nhân:

a) xy(2x – 3y + xy – x² + 6);

b) (3x – y)(x²y + xy² + 1).

Hướng dẫn giải

a) xy(2x – 3y + xy – x² + 6)

= xy . 2x – xy . 3y + xy . xy – xy . x² + xy . 6

= 2x²y – 3xy² + x²y² – x³y + 6xy.

b) (3x – y)(x²y + xy² + 1)

= 3x(x²y + xy² + 1) – y(x²y + xy² + 1)

= 3x . x²y + 3x . xy² + 3x . 1 – y . x²y– y . xy² – y . 1

= 3x³y + 3x²y² + 3x – x²y² – xy³ – y

= 3x³y + 2x²y² + 3x – xy³ – y.

Bài 6.Thực hiện phép chia:

a) 15x⁵y² : (3x²y);

b) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy).

Hướng dẫn giải

a) 15x⁵y² : (3x²y) = (15 : 3) . (x⁵ : x²) . (y² : y) = 5x³y.

b) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy)

= [x³y : (–xy)] + [–2xy² : (–xy)] + [7x²y² : (–xy)]

= – (x³ : x) . (y : y) + [–2 : (–1)] . (x : x) . (y² : y) + [7: (–1)] . (x² : x) . (y² : y)

= – x² + 2y – 7xy.

Bài 7.Tính giá trị của biểu thức:

a) A = (x – y)(x² – xy) – x(x² + 2y²) tại x = 2 và y = –3.

b) B = x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²) với x = 5 và y = –1.

Hướng dẫn giải

a) A = (x – y)(x² – xy) – x(x² + 2y²)

= x(x² – xy) – y(x² – xy) – x³ – 2xy²

= x³ – x²y – x²y + xy² – x³ – 2xy²

= (x³ – x³) + (– x²y – x²y) + (xy² – 2xy²)

= –2x²y – xy².

Thay x = 2 và y = –3 vào biểu thức thu gọn ta được:

A = –2.2².(–3)– 2.(–3)²

= –2.4.(–3)– 2.9

= 24 – 18 = 6.

b) B = x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²)

= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

= x³ + (x²y – x²y) + (xy² – xy²) – y³

= x³ – y³

Thay x = 5 và y = –1 vào biểu thức thu gọn ta được:

B = 5³ – (–1)³ = 125 – (–1) = 126.

Bài 8.

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng 15x² + 9xy và chiều rộng bằng 3x.

b) Tính cạnh còn thiếu của tam giác trong hình vẽ sau biết chu vi tam giác bằng 5x + 6y.

Hướng dẫn giải

a) Chiều dài của hình chữ nhật là:

(15x² + 9xy) : (3x)

= 15x² : 3x + 9xy : 3x

= (15 : 3) . (x² : x) + (9 : 3) . (xy : x)

= 5x + 3y.

b) Cạnh còn lại của tam giác là:

(5x + 6y) – (x + 2y) – (3x + y)

= 5x + 6y – x – 2y – 3x – y

= (5x – x – 3x) + (6y – 2y – y)

= x + 3y.

Bài 9. Thực hiện phép tính:

a) (x – y)(x² + 2xy + y²);

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x).

Hướng dẫn giải

a) (x – y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + (–y) . x² + (–y) . 2xy + (–y) . y²

= x³ + 2x²y + xy² – x²y – 2xy² – y³

= x³ + x²y – xy² – y³

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x)

= x . 3xy + x . 5y²  + x . x + 2y . 3xy + 2y . 5y²  + 2y . x

= 3x²y + 5xy² + x² + 6xy² + 10y³ + 2xy

= 3x²y + 11xy² + x² + 10y³ + 2xy

Bài 10. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) tại x = 1,2; y = 3

Hướng dẫn giải

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) + 5xy

= x . x – x . y + y . x  + y . (–y) + (xy⁴ : xy²) – (x³y² : xy²) + 5xy

= x² – xy + xy – y² + y² – x² + 5xy

= 5xy

Thay x = 1,2; y = 3 vào biểu thức A, ta được:

A = 5 . 1,2 . 3 = 18.

Vậy với x = 1,2; y = 3 thì A = 18.

Bài 11. Nhân hai đơn thức:

a) 2xy² và – 3x²y;                    

b) $-\frac{2}{5}$x⁴y³ và 10xy;

c) 0,5xyz và 4x³y²z.

Hướng dẫn giải

a) (2xy²).(– 3x²y) = 2.( – 3).(xy²).(x²y) = – 6x³y³                     

b) ( $-\frac{2}{5}$x⁴y³).(10xy) = $-\frac{2}{5}$ .10.( x⁴y³).(xy) =  – 4x⁵y⁴

c) (0,5xyz).(4x³y²z) = 0,5.4.(xyz).( x³y²z) = 2x⁴y³z².

Bài 12. Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²);

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$ x²y + $\frac{5}{6}$ xy²).12xy.

Hướng dẫn giải

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²) = (– x³).5xy + (– x³).( – y³) + (– x³).(2xy²)

                                      = – 5x⁴y + x³y³ – 2x⁴y².

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$ x²y + $\frac{5}{6}$ xy²).12xy = x²y².12xy + ( $-\frac{1}{2}$x²y).12xy +  $\frac{5}{6}$ xy².12xy

                                                = 12x³y³ – 6x³y² + 10x²y³.

Bài 13. Làm tính nhân:

a) (x² – xy + y²)(xy + 2);

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

Hướng dẫn giải

a) (x² – xy + y²)(xy + 2) = (x² – xy + y²).xy + (x² – xy + y²).2

                                         = x³y – x²y² + xy³ + 2x² – 2xy + 2y².

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) = x. (x² + 2xy + 4y²) + (– 2y) (x² + 2xy + 4y²)

                                            = x³ + 2x²y + 4xy² – 2x²y – 4xy² – 8y³

                                            = x³ + (2x²y – 2x²y) + (4xy² – 4xy²) – 8y³

                                            = x³ – 8y³.

Bài 14. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x).

Hướng dẫn giải

Ta có: (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x)

      = 2x.(1 – x²) + 2022.(1 – x²) + 2x³ – 2x + 2022x²

      = 2x – 2x³ + 2022 – 2022x² + 2x³ – 2x + 2022x²

      = (2x – 2x) + (– 2x³ + 2x³) + (– 2022x² + 2022x²) + 2022

      = 0 + 0 + 0 + 2022

      = 2022 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 15. Tìm đơn thức M, biết:

a) M = ( $\frac{4}{3}$x⁵y³z⁶) : ($-\frac{1}{6}$ x³yz⁴);

b) 5x²y³ : M = $-\frac{1}{2}$xy.

Hướng dẫn giải

a) M = ($\frac{4}{3}$ x⁵y³z⁶) : ( $-\frac{1}{6}$x³yz⁴)

         = ($\frac{4}{3}$ : ($-\frac{1}{6}$)).(x⁵ : x³).(y³ : y).(z⁶ : z⁴)

         = – 8x²y²z²

Vậy M = – 8x²y²z².

b) 5x²y³ : M =$-\frac{1}{2}$ xy

                M  = (5x²y³) : ( $-\frac{1}{2}$xy)

                M = (5 : ($-\frac{1}{2}$)).(x² : x).(y³ : y)

                M =  – 10xy²

Vậy M =  – 10xy².

Bài 16. Cho đa thức P = 9xy² – 6x³y² + 3xy. Đa thức P chia hết cho đơn thức nào dưới đây? Thực hiện phép chia trong trường hợp chia hết.

a) A = 3xy²;

b) B = 2xy.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy hạng tử 3xy của đa thức P không chia hết cho đơn thức A = 3xy² do số mũ của biến y trong A lớn hơn trong 3xy (mũ 2 > mũ 1). Do đó, đa thức P không chia hết cho đơn thức A.

b) Các hạng tử của P đều chia hết cho đơn thức B = 2xy. Do đó, đa thức P chia hết cho đơn thức B.

P : B = (9xy² – 6x³y² + 3xy) : (2xy)

         = (9xy²) : (2xy) + (– 6x³y²) : (2xy) + (3xy) : (2xy)

         = $\frac{9}{2}$y – 3x²y + $\frac{3}{2}$.

Bài 17. Rút gọn biểu thức sau:

8x⁵y⁶z : (– 2x³y²z) + (– 20x⁵y⁴z³ – 10x⁴y³z⁵ + 15x³z³) : (– 5x³z³).

Hướng dẫn giải

    8x⁵y⁶z : (– 2x³y²z) + (– 20x⁵y⁴z³ – 10x⁴y³z⁵ + 15x³z³) : (– 5x³z³)

= – 4x²y⁴ + (– 20x⁵y⁴z³) : (– 5x³z³) + (– 10x⁴y³z⁵) : (– 5x³z³) + (15x³z³) : (– 5x³z³)

= – 4x²y⁴ + 4x²y⁴ + 2xy³z² – 3

= 2xy³z² – 3.

B. Lý thuyết Các phép tính với đa thức nhiều biến

1. Cộng hai đa thức

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

– Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

– Nhóm các đơn thức: đồng dạng với nhau

– Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy + y²

Ta có: A + B = ( x² + 2xy + y²) + ( x² – 2xy + y²)

                 = x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

                 = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

                 = 2x² + 2y²

2. Trừ hai đa thức

Để trừ hai đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

– Viết P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

– Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

– Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy

Ta có:

A – B = ( x² + 2xy + y²) – ( x² – 2xy)

= x² + 2xy + y² – x² + 2xy

= (x² – x²) + (2xy + 2xy) + y²

= 4xy + y²

3. Nhân hai đa thức

3.1. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

– Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau:

– Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: 3xy . 2x²y³ = (3 . 2)(xyx²y³) = 6x³y⁴.

3.2. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

xy² . (x + y + y²) = xy²x + xy²y + xy² y²

= x²y² + xy³ + xy⁴.

3.3. Nhân hai đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau/

Ví dụ: (x + y)(x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y² .

4. Chia đa thức cho đơn thức

4.1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

– Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

– Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong đơn thức A cho từng lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ:

(20x⁴y²z³) : (4xyz) = (20 : 4)(x⁴ : x)(y² : y)(z³ : z)

= 5x³yz²

4.2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức

– Đa thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

– Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

(15x²y³ + 25xy² – 35x⁴y⁴) : (5xy)

= (15x²y³ : 5xy) + (25xy² : 5xy) – (35x⁴y⁴ : 5xy)

= 3xy² + 5y – 7x³y³