Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I; K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN và BE. Tính BE biết IK=3cm

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho $DE=DB$. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I; K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN và BE. Tính BE biết $IK=3cm$

A. 6cm

B. 9cm

Đáp án chính xác

C. 12cm

D. 15cm

Trả lời:

Đáp án BTa có: DE = DB mà BD + DE = BE nên$2BD=BE\Rightarrow BD=DE=\frac{1}{2}BE$Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABCKhi đó: $BI=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (1)    Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên$EK=\frac{2}{3}ED=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (2)Mặt khác $BI+IK+KE=BE$ kết hợp với (1);(2) suy ra$\frac{1}{3}BE+IK+\frac{1}{3}BE=BE\Rightarrow IK=\frac{1}{3}BE$Do đó: $BE=3IK=3.3=9cm$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG1: Chọn câu đúng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\Delta ABC$. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG1: Chọn câu đúng

   A. Hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm

   Đáp án chính xác

   B. Hai tam giác ABC và AEC có cùng trọng tâm

   C. Hai tam giác ABC và ABF có cùng trọng tâm

   D. Hai tam giác AEM và AMF có cùng trọng tâm

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $MB=MC$ (vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của $\Delta ABC$); $BE=CF\left(gt\right)$Mà $ME=MB+BE;MF=MC+CF$Suy ra $ME=MF$Do đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của $\Delta AEF$Mặt khác $AG=\frac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm $\Delta ABC$)Vậy G là trọng tâm $\Delta AEF$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG2: Chọn câu đúng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\Delta ABC$. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG2: Chọn câu đúng

   A. $IH//MN;IH=MN$

   Đáp án chính xác

   B. $IH//MN;IH<MN$

   C. $IH//MN;IH>MN$

   D. $IH//MN;IH=2MN$

   Trả lời:

   Đáp án ATheo câu trước ta có: G là trọng tâm $\Delta AEF$ nên $EG=\frac{2}{3}EN$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)Mà $GI=\frac{1}{2}EG$ (Vì I là trung điểm của EG)Suy ra $GI=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}EN=\frac{1}{3}EN$Mặt khác $GN=\frac{1}{3}EN$ (vì G là trọng tâm $\Delta AEF$)Do đó $GI=GN$Theo câu trước ta có: $AG=\frac{2}{3}AM$ mà $GH=\frac{1}{2}AG$ (vì H là trung điểm của AG)Suy ra $GH=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM$Mặt khác $GM=\frac{1}{3}AM$ (vì G là trọng tâm $\Delta AEF$)Do đó: $GH=GM$Xét $\Delta GHI$ và $\Delta GMN$ có:$GI=GN$ (cmt)$\widehat{HGI}=\widehat{NGM}$ (hai góc đối đỉnh)$GH=GM$ (cmt)$\Rightarrow \Delta GHI=\Delta GMN(c.g.c)\Rightarrow HI=MN$ (hai cạnh tương ứng), $\widehat{IHG}=\widehat{NMG}$ (hai góc tương ứng)Mà $\widehat{IHG},\widehat{NMG}$ ở vị trí so le trong nên HI//MN

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là 8cm2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là $8c{m}^2$

   A. $12c{m}^2$

   B. $48c{m}^2$

   C. $36c{m}^2$

   D. $24c{m}^2$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DGọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh MEHai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $MO=\frac{2}{3}ME$Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $NP=2NE$Ta có:$\begin{array}{l}\frac{S_{MNO}}{S_{MNE}}=\frac{\frac{1}{2}.NK.MO}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{\frac{1}{2}.NK.\frac{2}{3}.ME}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow S_{MNO}=\frac{2}{3}{S}_{MNE}\\ \frac{S_{MNE}}{S_{MNP}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH.NP}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH\mathrm{.2.}NE}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow S_{MNE}=\frac{1}{2}{S}_{MNP}\end{array}$Từ đó suy ra:$S_{MNP}=2.S_{MNE}=3.S_{MNO}\Rightarrow S_{MNP}=3.8=24c{m}^2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là 12cm2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là $12c{m}^2$

   A. $18 c{m}^2$

   B. $72 c{m}^2$

   C. $54 c{m}^2$

   D. $36 c{m}^2$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DGọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh MEHai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $MO=\frac{2}{3}ME$Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $NP=2NE$Ta có:$\begin{array}{l}\frac{S_{MNO}}{S_{MNE}}=\frac{\frac{1}{2}.NK.MO}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{\frac{1}{2}.NK.\frac{2}{3}.ME}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow S_{MNO}=\frac{2}{3}{S}_{MNE}\\ \frac{S_{MNE}}{S_{MNP}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH.NP}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH\mathrm{.2.}NE}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow S_{MNE}=\frac{1}{2}{S}_{MNP}\end{array}$Từ đó suy ra:$S_{MNP}=2.S_{MNE}=3.S_{MNO}\Rightarrow S_{MNP}=3.12=36c{m}^2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BN, CP. Trên tia AG kéo dài lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD. So sánh các cạnh của tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BN, CP. Trên tia AG kéo dài lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD. So sánh các cạnh của tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam giác ABC

   A. $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD<\frac{2}{3}CP$

   B. $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD=\frac{2}{3}CP$

   Đáp án chính xác

   C. $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD>\frac{2}{3}CP$

   D. $BG=\frac{2}{3}BN;GD<\frac{2}{3}AM;BD=\frac{2}{3}CP$

   Trả lời:

   Đáp án B$\Delta ABC$ có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:$AG=\frac{2}{3}AM;BG=\frac{2}{3}BN;CG=\frac{2}{3}CP$Vì G là trung điểm của AD nên $GD=AG$ mà $AG=\frac{2}{3}AM$ (cmt), do đó $GD=\frac{2}{3}AM$Ta có: $GD=AG=2GM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)Mà $GD=GM+MD\Rightarrow 2GM=GM+MD\Rightarrow GM=MD$Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMG$ có:$GM=MD$$\widehat{BMD}=\widehat{CMG}$ (hai góc đối đỉnh)$BM=MC$ (vì AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$)$\Rightarrow \Delta BMD=\Delta CMG(c.g.c)$$\Rightarrow BD=CG$ (hai cạnh tương ứng) mà $CG=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$ nên $BD=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$Vậy $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD=\frac{2}{3}CP$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====