Tìm giới hạn A=limx→1xn−1xm−1m,n∈ℕ*.

Câu hỏi:

Tìm giới hạn $A=\lim x\to 1\frac{x^n-1}{x^m-1}\left(m,n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Ta có
$A=\lim x\to 1\frac{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\mathrm{\dots }+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+\mathrm{\dots }+x+1\right)}=\lim x\to 1\frac{x^{n-1}+x^{n-2}+\mathrm{\dots }+x+1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\mathrm{\dots }+x+1}=\frac{n}{m}$.
Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể:

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính giới hạn limx→−1×2+2x+12x+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giới hạn $\lim x\to -1\frac{x^2+2x+1}{2x+2}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta thấy khi thay $x_0=-1$ thì bài toán có dạng $\frac{0}{0}$, như vậy ta nhóm nhân tử chung $\left(x+1\right)$ của cả tử và mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để tìm kết quả.
   Cách 1:$\lim x\to -1\frac{x^2+2x+1}{2x+2}=\lim x\to -1\frac{{\left(x+1\right)}^2}{2\left(x+1\right)}$
   $=\lim x\to -1\frac{x+1}{2}=0$.
   Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{x^2+2x+1}{2x+2}$ CACL
   $x=-1+{10}^{-9}$ và nhận được đáp án.
   Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal 570ES Plus:${\left.\lim \frac{x^2+2x+1}{2x+2}\right|}_{x\to -1+{10}^{-9}}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm giới hạn L=limx→74x−13−x+22x+24−2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giới hạn $L=\lim x\to 7\frac{4x-13-\sqrt{x+2}}{2x+24-2}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   $L=\lim x\to 7\frac{4x-13-\sqrt{x+2}}{2x+24-2}$.
   $=\lim x\to 7\left[\frac{4x-13-3}{2x+24-2}-\frac{\sqrt{x+2}-3}{2x+24-2}\right]=\lim x\to 7\left(A-B\right)$
   Ta có

   $A=\frac{4x-13-3}{2x+24-2}$.

   $=\frac{2\left(2x+24+2\right)\left({\left(2x+2\right)}^{2}4+4\right)}{\left({\left(4x-1\right)}^{2}3+34x-13+9\right)}=\frac{64}{27}$.
   $B=\frac{\sqrt{x+2}-3}{2x+24-2}$.
   $=\frac{\left(2x+24+2\right)\left({\left(2x+2\right)}^{2}4+4\right)}{2\left(\sqrt{x+2}+3\right)}=\frac{8}{3}$
   $L=\lim x\to 7\left(A-B\right)=\frac{64}{27}-\frac{8}{3}=\frac{-8}{27}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm giới hạn A=limx→1×3−3×2+2×2−4x+3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giới hạn $A=\lim x\to 1\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}$ .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có $A=\lim x\to 1\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}=\lim x\to 1\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\lim x\to 1\frac{x^2-2x-2}{x-3}=\frac{3}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm giới hạn B=limx→2×4−5×2+4×3−8.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giới hạn $B=\lim x\to 2\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có $B=\lim x\to 2\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}=\lim x\to 2\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^3-2^3}$
   $=\lim x\to 2\frac{\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=\lim x\to 2\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}{x^2+2x+4}=1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm giới hạn C=limx→01+5×3−1−6x4x .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giới hạn $C=\lim x\to 0\frac{{\left(1+5x\right)}^3-{\left(1-6x\right)}^4}{x}$ .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có $C=\lim x\to 0\frac{{\left(1+5x\right)}^3-{\left(1-6x\right)}^4}{x}$
   $=\lim x\to 0\frac{{\left(1+5x\right)}^3-1}{x}-\lim x\to 0\frac{{\left(1-6x\right)}^4-1}{x}$
   $=\lim x\to 0\frac{5x\left[{\left(1+5x\right)}^2+\left(1+5x\right)+1\right]}{x}-\lim x\to 0\frac{12x\left(3x-1\right)\left[{\left(1-6x\right)}^2+1\right]}{x}$
   $=\lim x\to 05\left[{\left(1+5x\right)}^2+\left(1+5x\right)+1\right]-\lim x\to 012\left(3x-1\right)\left[{\left(1-6x\right)}^2+1\right]=39$

   .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====