Tìm đạo hàm cấp của hàm số  y=sinxn∈ℕ*.

Câu hỏi:

Tìm đạo hàm cấp của hàm số
 $y=\sin x\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Trả lời:

Ta có: $y^{‘}=\cos x=\sin \left(x+1.\frac{\pi }{2}\right)$;
${y^{‘}}^{‘}=-\sin x=\sin \left(x+2.\frac{\pi }{2}\right)$;
$y^{\left(n\right)}=\sin \left(x+n\frac{\pi }{2}\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y=cos2x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số $y={\cos }^{2}x$.

   Trả lời:

   Ta có $y={\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)\Rightarrow y^{‘}=-\sin 2x$
   $\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=-2\cos 2x\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=4\sin 2x$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x−1x+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\frac{3x-1}{x+2}$.

   Trả lời:

   Ta có  $y^{‘}=\frac{7}{{\left(x+2\right)}^2}\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=\frac{-7{\left[{\left(x+2\right)}^2\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^4}=\frac{-14}{{\left(x+2\right)}^3}$
    $\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=\frac{14{\left[{\left(x+2\right)}^3\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^6}=\frac{42}{{\left(x+2\right)}^4}\Rightarrow y^{\left(4\right)}=\frac{-42{\left[{\left(x+2\right)}^4\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^8}=\frac{-168}{{\left(x+2\right)}^5}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y=sin22x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y={\sin }^{2}2x$.

   Trả lời:

   Ta có  $y={\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 4x\right)$
   $\Rightarrow y^{‘}=2\sin 4x\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=8\cos 4x\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=-32\sin 4x$
    $\Rightarrow y^{\left(4\right)}=-128\cos 4x\Rightarrow y^{\left(5\right)}=512\sin 4x$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  y=3x+1x−2 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  $y=\frac{3x+1}{x-2}$ .

   Trả lời:

   Ta có: $y^{‘}=\frac{-7}{{\left(x-2\right)}^2},{y^{‘}}^{‘}=\frac{7.2}{{\left(x-2\right)}^3},{{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=\frac{-\mathrm{7.2.3}}{{\left(x-2\right)}^4}$ .
   Bằng quy nạp ta chứng minh  $y^{\left(n\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^n\mathrm{.7.}n!}{{\left(x-2\right)}^{n+1}}$ .  $\left(2\right)$
   Với  $n=1$ ta thấy  $\left(2\right)$ đúng.
   Giả sử  $\left(2\right)$ đúng với  $n=k$, tức là  $y^{\left(k\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k!}{{\left(x-2\right)}^{k+1}}$ .
   Ta có:   $y^{\left(k+1\right)}={\left(\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k}{{\left(x-2\right)}^{k+1}}\right)}^{‘}=-\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k!.\left(k+1\right)}{{\left(x-2\right)}^{k+2}}=\frac{{\left(-1\right)}^{k+1}\mathrm{.7.}\left(k+1\right)!}{{\left(x-2\right)}^{k+2}}$.
   Do đó  $\left(2\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$.
   Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số
    $y=\frac{3x+1}{x-2}$ là  $y^{\left(n\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^n\mathrm{.7.}n!}{{\left(x-2\right)}^{n+1}}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=xsinx Chứng minh  x.y”−2y’−sinx+xy=0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=xsinx

   Chứng minh  $x.{y^{‘}}^{‘}-2\left(y^{‘}-\sin x\right)+xy=0$.

   Trả lời:

   Ta có
     $y^{‘}={\left(x\sin x\right)}^{‘}\iff y‘=x^{‘}.\sin x+x.{\left(\sin x\right)}^{‘}$
   $\iff y^{‘}=\sin x+x\cos x$
   ${y^{‘}}^{‘}=\left(\sin x+x\cos x\right)‘={\left(\sin x\right)}^{‘}+{\left(x\cos x\right)}^{‘}$
   $=\cos x+x‘.\cos x+x.{\left(\cos x\right)}^{‘}=2\cos x-x\sin x$.
   Ta có  $x.{y^{‘}}^{‘}-2\left(y^{‘}-\sin x\right)+xy=0$
   $\iff x\left(2\cos x-x\sin x\right)-2\left(\sin x+x\cos x-\sin x\right)+x^2\sin x=0$
   $\iff 2x\cos x-x^2\sin x-2x\cos x+x^2\sin x=0$
   $\iff 0=0$
   (điều phải chứng minh).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====