Giải phương trình sinπ43x−9×2−16x−80=0

Câu hỏi:

Giải phương trình
${\sin \left[\frac{\pi }{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]=0}^{}$

Trả lời:

Ta có : $\sin \left[\frac{\pi }{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]=0\iff \frac{\pi }{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)=k\pi$
$\iff 3x-\sqrt{9x^2-16x-80}=4k\iff \sqrt{9x^2-16x-80}=3x-4k$
$\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ge 4k\\ 9x^2-16x-80=9x^2-24kx+16k^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ge 4k\\ x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\end{array}\right.$

Xét $x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\Rightarrow 9x=\frac{18k^2+90}{3k-2}=\frac{2\left(9k^2-4\right)+98}{3k-2}=2\left(3k+2\right)+\frac{98}{3k-2}$ .
Vì $x\in {\mathbb{N}}^{*}$   nên $9x\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow 3k-2\in$  Ư $\left(98\right)$ $=\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 7;\pm 14;\pm 49;\pm 98\right\}$ .
Lại có $\left\{\begin{array}{l}x\in {\mathbb{N}}^{*}\\ 2k^2+10>0\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right.\Rightarrow 3k-2>0$   $\Rightarrow 3k-2\in \left\{1;2;7;14;49;98\right\}\iff k\in \left\{1;3;17\right\}$
–        Với $k=1$   thì  $x=12$(thỏa mãn $3x\ge 4k$  ).
–        Với $k=3$  thì $x=4$   (thỏa mãn $3x\ge 4k$ ).
–        Với  $k=17$ thì $x=12$  (không thỏa mãn $3x\ge 4k$  ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là  $x\in \left\{4;12\right\}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải phương trình
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình
   $2\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$

   Trả lời:

   $\left(1\right)\iff \sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$$\iff \left[\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}3x=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.$

   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải phương trình sin3x+2π3+sinx−7π5=0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình
   $\sin \left(3x+\frac{2\pi }{3}\right)+\sin \left(x-\frac{7\pi }{5}\right)=0$

   Trả lời:

   $\left(2\right)\iff \sin \left(3x+\frac{2\pi }{3}\right)-\sin \left(x-\frac{2\pi }{5}\right)=0\iff \sin \left(3x+\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(x-\frac{2\pi }{5}\right)$
   $\iff \left[\begin{array}{l}3x+\frac{2\pi }{3}=x-\frac{2\pi }{5}+k2\pi \\ 3x+\frac{2\pi }{3}=\pi -\left(x-\frac{2\pi }{5}\right)+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{8\pi }{15}+k\pi \\ x=\frac{11\pi }{60}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.$
   Phương trình đã cho có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{8\pi }{15}+k\pi \\ x=\frac{11\pi }{60}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho phương trình sinx+π=m+2m−1 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phương trình $\sin \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$ , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

   A. $m\le -\frac{1}{4}$

   B. $m\le -\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   C. $\forall m\in ℝ$ .

   D. Không tồn tại giá trị của m

   Trả lời:

   Đáp án B
   Phương trình $\sin \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$  , $m\ne 1$ .
   Ta có $-1\le \sin \left(x+\pi \right)\le 1\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le \frac{m+2}{m-1}\\ \frac{m+2}{m-1}\le 1\end{array}\right.$  .
   Giải (1) . Ta có $-1\le \frac{m+2}{m-1}\iff \frac{2m+1}{m-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m\le \frac{-1}{2}\end{array}\right.$ .
   Giải (2)   . Ta có $-1\le \frac{m+2}{m-1}\iff \frac{2m+1}{m-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m\le \frac{-1}{2}\end{array}\right.$ .
   Kết hợp nghiệm ta có $m\le -\frac{1}{2}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Phương trình sinx=12 có nghiệm thỏa mãn −π2≤x≤π2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có nghiệm thỏa mãn $\frac{-\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$

   A. $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

   B. $x=\frac{\pi }{6}$ .

   Đáp án chính xác

   C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .          

   D. $x=\frac{\pi }{3}$ .

   Trả lời:

   Đáp án B
   Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$  .
   Do $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$  nên $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$  .
   Vì $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$  nên $x=\frac{\pi }{6}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Số nghiệm của phương trình sin2x1−cosx=0  trên đoạn  0;3π là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số nghiệm của phương trình $\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0$  trên đoạn  $\left[0;3\pi \right]$ là

   A. 8.

   B. 7.

   C. 4.

   D. 5

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D

   Phương trình $\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0$  có nghĩa $\iff 1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{k2\pi \right\}$ .
   Ta có $\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}$  .
   Kết hợp với điều kiện ta có $\left[\begin{array}{l}x=\left(2k+1\right)\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.$ .
   Do $x\in \left[0;3\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ , $x=\frac{5\pi }{2}$ , $x=3\pi$, $x=\pi$ .
   Vậy phương trình có 5 nghiệm.  

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====