Cho phương trình −2sinx+cosx+2sinxcosx+1=0 . Đặt t=sinx+cosx,  ta được phương trình nào dưới đây?

Câu hỏi:

Cho phương trình $-\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+2\sin x\cos x+1=0$ . Đặt $t=\sin x+\cos x,$  ta được phương trình nào dưới đây?

A. $t^2+\sqrt{2}t=0.$

B. $t^2+\sqrt{2}t+2=0.$

C. $t^2-\sqrt{2}t=0.$

Đáp án chính xác

D. $t^2-\sqrt{2}t-2=0.$

Trả lời:

Đáp án C

Phương trình  $-\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+2\sin x\cos x+1=0\left(1\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$
Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$
Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t^2-\sqrt{2}t=0.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1

   Trả lời:

   Đặt $t=\sin x-\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}.$
   Khi đó phương trình (1) trở thành $t+7\left(1-t^2\right)=1\iff 7t^2-t-6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{6}{7}\end{array}\right..$
   – Nếu $t=1$  thì $\sin x-\cos x=1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$
   – Nếu $t=-\frac{6}{7}$  thì $\sin x-\cos x=\frac{-6}{7}$
   $\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-3\sqrt{2}}{7}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

   Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=\pi +k2\pi$
   $x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải phương trình  sin3x+cos3x+1=32sin2x.   2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình  ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x.\left(2\right)$

   Trả lời:

   $\left(2\right)\iff 1+\left(\sin x+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)=3\sin x\cos x$
   $\iff 1+\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)=3\sin x\cos x.\left(*\right)$
   Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$
   Khi đó phương trình (*) trở thành $1+t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)=3.\frac{t^2-1}{2}$
   $\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff \left(t+1\right)\left(t^2+2t-5\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1-\sqrt{6}<-\sqrt{2}\\ t=-1+\sqrt{6}>\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow t=-1.$

   Suy ra $\sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$
                               $\iff cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=cos\frac{3\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$             
   Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x=\pi +k2\pi ;x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Nếu 1+sinx1+cosx=2  thì cosx−π4  nhận giá trị là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2$  thì $cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$  nhận giá trị là

   A.  -1

   B. 1.

   C.   $-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   D. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Phương trình $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$
   Ta có $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2\iff \cos x+\sin x+\sin x\cos x=1.$
   Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$
   Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\left(1\right)\Rightarrow t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right..$
   Do  $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=1.$
   Với $t=\mathrm{1,}$  ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là

   A.   $\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$      

   Đáp án chính xác

   B.    $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$       

   C.         $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$  

   D. Vô nghiệm.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Phương trình $\sin x-\cos x+2\sin 2x+1=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$
   Ta có $\sin x-\cos x+2\sin 2x+1=0\iff \sin x-\cos x+4\sin x\cos x+1=0.\left(1\right)$
   Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$
   Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t+2\left(1-t^2\right)+1=0\iff 2t^2-t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right..$
   Do  $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=-1.$
   Với $t=-\mathrm{1,}$  ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{-\pi }{4}$
   $\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

   A. $x=\frac{\pi }{2}.$

   B. x=0

   C. $x=\frac{3\pi }{2}.$

   Đáp án chính xác

   D. $x=\frac{5\pi }{6}.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Phương trình  $\sin 2x-2\left(\sin x-\cos x\right)-2=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$
   Ta có $\sin 2x-2\left(\sin x-\cos x\right)-2=0\iff 2\left(\sin x-\cos x\right)-2\sin x\cos x+2=0.\left(1\right)$
   Đặt  $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$
   $\Rightarrow \left(1\right)\iff 2t-\left(1-t^2\right)+2=0\iff t^2+2t+1=0\iff t=-1.$

   Với $t=-\mathrm{1,}$  ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{-\pi }{4}$

   $\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$
   Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là   $x=\frac{3\pi }{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====