Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.a) Chứng minh (MNP) // (ABCD)

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.
a) Chứng minh (MNP) // (ABCD)

Trả lời:

a) Ta có $MN\text{ // }AB\text{, }AB\subset \left(ABCD\right)\Rightarrow MN\text{ // }\left(ABCD\right).$
Tương tự $NP\text{ // }BC\text{, }BC\subset \left(ABCD\right)\Rightarrow NP\text{ // }\left(ABCD\right).$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}MN\text{ // }\left(ABCD\right)\\ NP\text{ // }\left(ABCD\right)\\ MN,NP\subset \left(MNP\right),MN\cap NP=\left\{N\right\}\end{array}\right.\Rightarrow \left(MNP\right)\text{ // }\left(ABCD\right).$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trọng tâm của ΔABC, ΔACD, ΔABD. Chứng minh rằng MNP // BCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trọng tâm của $\Delta ABC, \Delta ACD, \Delta ABD.$
   Chứng minh rằng $\left(MNP\right)\text{ // }\left(BCD\right).$

   Trả lời:

   

   Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AC, AD, AB.
   Xét $\Delta IBD$ có $\frac{IM}{IB}=\frac{IN}{ID}=\frac{1}{3}$ nên $MN\text{ // }BD.$
   Suy ra $MN\text{ // }\left(BCD\right).$
   Xét $\Delta JBC$có $\frac{IM}{IB}=\frac{IN}{ID}=\frac{1}{3}$ nên $NP\text{ // }BC.$
   Suy ra $NP\text{ // }\left(BCD\right).$
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}MN\text{ // }\left(BCD\right)\\ NP\text{ // }\left(BCD\right)\\ MN,NP\subset \left(MNP\right),MN\cap NP=\left\{N\right\}\end{array}\right.$
   $\Rightarrow \left(MNP\right)\text{ // }\left(BCD\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) Gọi Q là giao điểm của (MNP) và SD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Gọi Q là giao điểm của (MNP) và SD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

   Trả lời:

   b) Ta có $SD\subset \left(SCD\right).$
   Xét hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(SCD\right)$ có $P\in \left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)$
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right),MN\subset \left(MNP\right)\\ MN\text{ // }CD\end{array}\right.\Rightarrow \left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)=Px$
   sao cho $Px\text{ // }CD\text{ // }MN.$(vì MN // AB theo tính chất đường trung bình và CD // AB)
   Trong $\left(SCD\right)$ gọi $Px\cap CD=\left\{Q\right\}.$Suy ra $\left(MNP\right)\cap CD=\left\{Q\right\}.$
   Ta có $\left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)=PQ$ nên $PQ\text{ // }CD\text{ // }MN$ suy ra Q là trung điểm của SD và $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=PQ.$
    
   Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB. Chứng minh (AMC’) // (CNB’)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB. Chứng minh (AMC’) // (CNB’)

   Trả lời:

   

   Ta có $MN\text{ // }A{A}^{‘},A{A}^{‘}\text{ // }C{C}^{‘}\Rightarrow MN\text{ // }C{C}^{‘}$ và theo tính chất hình lăng trụ thì $MN=C{C}^{‘}$ nên tứ giác $MNC{C}^{‘}$ là hình bình hành và $CN\text{ // }M{C}^{‘}.$
   $\left\{\begin{array}{l}CN\text{ // }M{C}^{‘}\\ M{C}^{‘}\subset \left(AM{C}^{‘}\right)\end{array}\right.\Rightarrow CN\text{ // }\left(AM{C}^{‘}\right).$
   Mặt khác $AN\text{ // }{B}^{‘}M,AN=B^{‘}M$ nên tứ giác $AN{B}^{‘}M$ là hình bình hành và $N{B}^{‘}\text{ // }MA.$
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}N{B}^{‘}\text{ // }MA\\ MA\subset \left(AM{C}^{‘}\right)\end{array}\right.\Rightarrow N{B}^{‘}\text{ // }\left(AM{C}^{‘}\right).$
   Lại có $\left\{\begin{array}{l}CN\text{ // }\left(AM{C}^{‘}\right)\\ N{B}^{‘}\text{ // }\left(AM{C}^{‘}\right)\\ CN,N{B}^{‘}\subset \left(CN{B}^{‘}\right)\\ CN\cap N{B}^{‘}=\left\{N\right\}\end{array}\right.\Rightarrow \left(AM{C}^{‘}\right)\text{ // }\left(CN{B}^{‘}\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, DC, DD’. Chứng minh rằng (MNP) song song với (ACD’)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, DC, DD’. Chứng minh rằng (MNP) song song với (ACD’)

   Trả lời:

   
   Xét $\Delta AD{D}^{‘}$ có $MP\text{ // }A{D}^{‘},$ mà $A{D}^{‘}\subset \left(AC{D}^{‘}\right)\Rightarrow MP\text{ // }\left(AC{D}^{‘}\right).$
   Tương tự trong $\Delta ACD$ có $MN\text{ // }AC,$ mà $AC\subset \left(AC{D}^{‘}\right)\Rightarrow MN\text{ // }\left(AC{D}^{‘}\right)$
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}MP\text{ // }\left(AC{D}^{‘}\right)\\ MN\text{ // }\left(AC{D}^{‘}\right)\\ MN,MP\subset \left(MNP\right)\\ MN\cap MP=\left\{M\right\}\end{array}\right..$
   Suy ra $\left(MNP\right)\text{ // }\left(AC{D}^{‘}\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.a) Chứng minh rằng (OMN) song song với (SBC)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.
   a) Chứng minh rằng (OMN) song song với (SBC)

   Trả lời:

   

   a) Ta có $ON\text{ // }SB, SB\subset \left(SBC\right)\Rightarrow ON\text{ // }\left(SBC\right)$ và $OM\text{ // }SC,SC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow OM\text{ // }\left(SBC\right).$
   Lại có $OM,ON\subset \left(OMN\right).$
   Suy ra $\left(OMN\right)\text{ // }\left(SBC\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====