Cho hàm số fx=x+1+x2 . Chứng minh rằng 21+x2.y’=y .

Câu hỏi:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}$ . Chứng minh rằng $2\sqrt{1+x^2}.y^{‘}=y$ .

Trả lời:

$y^{‘}={\left(\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\right)}^{‘}=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}.{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^{‘}=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}.\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$
$=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}.\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{\sqrt{1+x^2}+x}}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{y}{2\sqrt{1+x^2}}\Rightarrow 2\sqrt{1+x^2}.y^{‘}=y.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=−3×3+25x−20. Giải phương trình y’=0 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=-3x^3+25x-20$.
   Giải phương trình $y^{‘}=0$ .

   Trả lời:

   Ta có: $y^{‘}=-9x^2+25.$
   $y^{‘}=0\iff -9x^2+25=0\iff x=\pm \frac{5}{3}$.
   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  $x=-\frac{5}{3}$ và $x=\frac{5}{3}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính A=limx→01−x3−1x  .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $A=\lim x\to 0\frac{1-x3-1}{x}$  .

   Trả lời:

   Đặt $f\left(x\right)=1-x3\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=\frac{-1}{3{\left(1-x\right)}^{2}3}$  và $f\left(0\right)=1$ .
   Suy ra $A=\lim x\to 0\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f^{‘}\left(0\right)=-\frac{1}{3}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số fx=x2−2x . Giải bất phương trình f’x≤fx  .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x}$ . Giải bất phương trình $f^{‘}\left(x\right)\le f\left(x\right)$  .

   Trả lời:

   Ta có $f^{‘}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$ . Khi đó $f^{‘}\left(x\right)\le f\left(x\right)\iff \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\le \sqrt{x^2-2x}\left(1\right)$
   Điều kiện xác định: $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ .
   $\left(1\right)\Rightarrow x-1\le x^2-2x\iff x^2-3x+1\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ x\le \frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

   Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x<0$  hoặc $x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=x33−mx2+m+2x−7 . Tìm giá trị của tham số m để f’x≥0  với mọi x∈ℝ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-m{x}^2+\left(m+2\right)x-7$ . Tìm giá trị của tham số m để $f^{‘}\left(x\right)\ge 0$  với mọi $x\in ℝ$ .

   Trả lời:

   Ta có $f^{‘}\left(x\right)=x^2-2mx+m+2$
   $f^{‘}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff x^2-2mx+m+2\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{‘}=m^2-\left(m+2\right)\le 0\end{array}\right.\iff m^2-m-2\le 0\iff -1\le m\le 2$

   Vậy $-1\le m\le 2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình f'(x) trong các trường hợp sauf(x)= sin3x-3sinx+7
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình f'(x) trong các trường hợp sau
   f(x)= sin3x-3sinx+7

   Trả lời:

   $f\left(x\right)=\sin 3x-3\sin x+7\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=3\cos 3x-3\cos x$
   $f^{‘}\left(x\right)=0\iff 3\cos 3x-3\cos x=0\iff \cos 3x=\cos x$
   $\iff \left[\begin{array}{l}3x=x+k2\pi \\ 3x=-x+k2\pi \end{array}\right.$
   $\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.$
   $\iff x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====