Cho dãy số (un) có u1=15 và un+1=n+15nun,∀n≥1. Tất cả các giá trị n để S=∑k=1nukk

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ có $u_1=\frac{1}{5}$ và $u_{n+1}=\frac{n+1}{5n}{u}_n,\forall n\ge 1$. Tất cả các giá trị n để $S=\sum _{k=1}^n\frac{u_k}{k}<\frac{5^{2018}-1}{{4.5}^{2018}}$ là

A. n > 2019

B. n < 2018

Đáp án chính xác

C. n < 2020

D. n > 2017

Trả lời:

Chọn B
Ta có $u_{n+1}=\frac{n+1}{5n}{u}_n\iff \frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{5}.\frac{u_n}{n}$
Đặt $v_n=\frac{u_n}{n},\forall n\ge 1.$ Suy ra $\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\right)$ là cấp số nhận có công bội $q=\frac{1}{5} \mathrm{và} \mathrm{v}=\frac{1}{5}$
Ta có 
$S=\sum _{k=1}^n\frac{u_k}{k}=\sum _{k=1}^n{v}_k=v_1\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{5}.\frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}.\frac{5^n-1}{5^n}=T_n$
Do $v_n>\mathrm{0,}\forall n\ge 1$ nên (Tn) là dãy tăng. Suy ra $T_n<\frac{5^{2018}-1}{{4.5}^{2018}}=T_{2018}\iff n<2018$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) biết un=n+5n+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ biết $u_n=\frac{n+5}{n+2}.$

   Trả lời:

   Ta có $u_n=\frac{n+5}{n+2}=1+\frac{3}{n+2}\Rightarrow u_{n+1}=1+\frac{3}{n+3}$
   Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+2}=\frac{-3}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$
   Vậy $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  là dãy số giảm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số un:u1=2un=3un−1+14,∀n≥2 . Xét tính tăng, giảm của dãy số .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{3u_{n-1}+1}{4},\forall n\ge 2\end{array}\right.$ . Xét tính tăng, giảm của dãy số .

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho dãy (an) được xác định bởi a1=1an+1an−an2=1 . Xét tính tăng giảm của dãy số (an).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}{a}_n-a_n^2=1\end{array}\right.$ . Xét tính tăng giảm của dãy số $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Xét tính tăng, giảm của dãy số un=n+−1nn2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2}$

   Trả lời:

   Ta có $u_1=0;u_2=\frac{1}{2};u_3=\frac{2}{9}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$
    Dãy số không tăng, không giảm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (un) biết un=−12n+3. Xét tính bị chặn dãy số (un) .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ biết $u_n=\frac{-1}{2n+3}$. Xét tính bị chặn dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ .

   Trả lời:

   Ta có
   $2n+3\ge \mathrm{5,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow 0<\frac{1}{2n+3}\le \frac{1}{5},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow -\frac{1}{5}\le \frac{-1}{2n+3}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$
   $\Rightarrow -\frac{1}{5}\le u_n<0.$ Suy ra dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  bị chặn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====