Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau: a) f(x) = 3×2 – 4x + 1; b) f(x) = 9×2 + 6x + 1; c) f(x) = 2×2 – 3x + 10; d) f(x) = – 5×2 + 2x + 3; e) f(x) = – 4×2 + 8x – 4; g) f(x) = – 3×2 + 3x – 1.

Câu hỏi:

Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 3×2 – 4x + 1;
b) f(x) = 9×2 + 6x + 1;
c) f(x) = 2×2 – 3x + 10;
d) f(x) = – 5×2 + 2x + 3;
e) f(x) = – 4×2 + 8x – 4;
g) f(x) = – 3×2 + 3x – 1.

Trả lời:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 4x + 1 có ∆ = (– 4)² – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{3}$ và x₂ = 1.
Lại có hệ số a = 3 > 0.
Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và (1; + ∞); f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$.
b) Tam thức bậc hai f(x) = 9x² + 6x + 1 có ∆ = 6² – 4 . 9 . 1 = 0.
Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép là x₀ = $-\frac{1}{3}$.
Lại có hệ số a = 9 > 0.
Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{3}\right\}$.
c) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 10 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 10 = – 71 < 0 và hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ$.
d) Tam thức bậc hai f(x) = – 5x² + 2x + 3 có ∆ = 2² – 4 . (– 5) . 3 = 64 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $-\frac{3}{5}$ và x₂ = 1.
Lại có hệ số a = – 5 < 0.
Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{3}{5}\right)$ và (1; + ∞); f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(-\frac{3}{5};1\right)$.
e) Tam thức bậc hai f(x) = – 4x² + 8x – 4 có ∆ = 8² – 4 . (– 4) . (– 4) = 0.
Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép x₀ = 1.
Lại có hệ số a = – 4 < 0.
Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{1\right\}$.
g) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 3x – 1 có ∆ = 3² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000. Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000.
   Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?

   Trả lời:

   Đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) được gọi là tam thức tâm bậc hai.
   Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x² + 92 000x – 8 400 000.
   Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.
   ∆ = b² – 4ac = 92000² – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0
   $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1744000000}=4000\sqrt{109}$
   Khi đó f(x) có hai nghiệm $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000+4000\sqrt{109}}{-400}=230-10\sqrt{109}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000-4000\sqrt{109}}{-400}=230+10\sqrt{109}$.
   Lại có a = – 200 < 0.
   Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;230-10\sqrt{109}\right)$ và $\left(230+10\sqrt{109};+\infty \right)$.
   f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(230-10\sqrt{109};230+10\sqrt{109}\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2. b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 5. c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2.
   b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5.
   c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2 > 0.
   b) Quan sát Hình 18 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5 < 0.
   c) Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1. b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4. c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1.
   b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4.
   c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol có đỉnh I(– 1; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-1\right\}$.
   b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol có đỉnh I(2; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4 < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{2\right\}$.
   c) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x. b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x. c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x.
   b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x.
   c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 21, ta thấy
   + Trên khoảng (– 2; – 1), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 < 0.
   + Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 > 0.
   b) Quan sát Hình 22, ta thấy:
   + Trên khoảng (1; 3), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 > 0.
   + Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 < 0.
   c) Nếu ∆ > thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (– ∞; x₁) và (x₂; + ∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂), trong đó x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau: a) f(x) = – 2×2 + 4x – 5; b) f(x) = – x2 + 6x – 9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
   a) f(x) = – 2×2 + 4x – 5;
   b) f(x) = – x2 + 6x – 9.

   Trả lời:

   a) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + 4x – 5 có ∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . (– 2) . (– 5) = – 24 < 0, hệ số a = – 2 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ.$
   b) Tam thức bậc hai f(x) = – x² + 6x – 9 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0, nghiệm kép x₀ = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$ và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{3\right\}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====