Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.

Câu hỏi:

Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px, trong đó p > 0.
Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8
Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 16x.
Gọi M (x₀; y₀).
Vì M thuộc (P) nên ta có:
d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\)
⇔ |x₀ + 4| = 5 (*)
TH1: x₀ + 4 ≥ 0 hay x₀ ≥ –4
 (*) ⇔ x₀ + 4 = 5 ⇔ x₀ = 1 (thỏa mãn)
TH2: x₀ + 4 < 0 hay x₀ < –4
 (*) ⇔ –x₀ – 4 = 5 ⇔ x₀ = –9 (thỏa mãn)
Với x₀ = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)
Với x₀ = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.1 = 16 ⇔ y₀  = ±4
Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) của (E) ta có
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 36}\\{{b^2} = 16}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 5 \)
   Vậy (E) có hai tiêu điểm là: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 5 ;0} \right)\)và có tiêu cự là: \(2c = 4\sqrt 5 \).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hypebol (H) có phương trình\(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol (H) có phương trình\(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\) của (H) ta có
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 16}\\{{b^2} = 20}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\)
   Vậy (H) có hai tiêu điểm là F₁ (–6; 0), F₂(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc y² = 4x của (P) ta có:
   2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ \(\frac{p}{2} = 1\) .
   Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0)
   Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có \(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇔ a² = 6²
   Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b² = a² – c² = 6² – 4² = 20.
   Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; – 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F2(5; 0).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; – 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a, b > 0)
   Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:
   c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²
   Vì (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\)nên ta có
   \(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} – \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\)                  (1)
   Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được
   \(\frac{{18}}{{25 – t}} – \frac{{16}}{t} = 1\)
   ⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t
   ⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²
   ⇔ t² + 9t – 400 = 0
   ⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)
   Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.
   Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====