Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F1; F2 (tức là góc \(\widehat {{F_1}M{F_2}}\)) là lớn nhất ?

Câu hỏi:

Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂ (tức là góc \(\widehat {{F_1}M{F_2}}\)) là lớn nhất ?

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có
\(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{MF_1^2 + MF_2^2 – {F_1}F_2^2}}{{2.M{F_1}.M{F_2}}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 – \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} – {2^2}}}{{2.\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( {\sqrt 2 – \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{x_0^2}}{{4 – x_0^2}}\)
Ta có: \(\frac{{x_0^2}}{2} = 1 – y_0^2 \le 1\) ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.
Suy ra \(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le 90^\circ \)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀  = ±1
Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) của (E) ta có
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 36}\\{{b^2} = 16}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 5 \)
   Vậy (E) có hai tiêu điểm là: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 5 ;0} \right)\)và có tiêu cự là: \(2c = 4\sqrt 5 \).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hypebol (H) có phương trình\(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol (H) có phương trình\(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\) của (H) ta có
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 16}\\{{b^2} = 20}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\)
   Vậy (H) có hai tiêu điểm là F₁ (–6; 0), F₂(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình chính tắc y² = 4x của (P) ta có:
   2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ \(\frac{p}{2} = 1\) .
   Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0)
   Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có \(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇔ a² = 6²
   Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b² = a² – c² = 6² – 4² = 20.
   Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; – 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F2(5; 0).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; – 4} \right)\)và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a, b > 0)
   Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:
   c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²
   Vì (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\)nên ta có
   \(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} – \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\)                  (1)
   Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được
   \(\frac{{18}}{{25 – t}} – \frac{{16}}{t} = 1\)
   ⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t
   ⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²
   ⇔ t² + 9t – 400 = 0
   ⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)
   Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.
   Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====