Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

Câu hỏi:

Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

Trả lời:

Gọi số lượng áo bán ra là x (cái) (x ∈ ℕ)
Số lượng quần bán ra là y (cái) (y ∈ ℕ).
Số mét vải để may x áo và y quần là: 2x + 1,5y (m).
Vì xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có: 2x + 1,5y ≤ 900 (1).
Số giờ để may x áo và y quần là: 20x + 5y (giờ).
Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có: 20x + 5y ≤ 6000 hay 4x + y ≤ 1200 (2).
Theo khảo sát thị trường, ta có:
Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo y ≥ x (4)
Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo y ≤ 2x (5)
Từ (1), (2), (3) và (4) nên ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ y\ge x\\ y\le 2x\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ x-y\le 0\\ 2x-y\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với O(0; 0), A(180; 360), B(200; 250), C(240; 240).

Tiền lãi khi bán x cái áo và y cái quần là 350x + 100y (nghìn đồng).
Đặt T = 350x + 100y.
Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.
Tính giá trị biểu thức T tại các đỉnh của tứ giác:
Tại O(0; 0), với x = 0 và y = 0 thì T = 350.0 + 100.0 = 0;
Tại A(180; 360), với x = 180 và y = 360 thì T = 350.180 + 100.360 = 99 000;
Tại B(225; 300), với x = 225 và y = 300 thì T = 350.225 + 100.300 = 108 750;
Tại C(240; 240), với x = 240 và y = 240 thì T = 350.240 + 100.240 = 108 000;
Ta được T đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 000 đồng khi x = 225, y = 300.
Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì phân xưởng cần may 225 cái áo vest, 300 cái quần âu.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y−2−x+y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ -x+y<3\end{array}\right..$

   A. (1; 0);

   B. (– 1; 0);

   Đáp án chính xác

   C. (– 2; 3);

   D. (0; – 1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là B
   Ta xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\left(1\right)\\ x+3y>-2\left(2\right)\\ -x+y<3\left(3\right)\end{array}\right..$
   +) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 1 – 2.0 < 0 ⇔ 1 < 0 (vô lí);
   (2) ⇔ 1 + 3.0 > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ – 1 + 0 < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 – 2.0 < 0 ⇔ – 1 < 0 (luôn đúng);
   (2) ⇔ – 1 + 3.0 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 1 + 0 < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (– 1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 2 và y = 3 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 2 – 2.3 < 0 ⇔ – 8 < 0 (luôn đúng);
   (2) ⇔ – 2 + 3.3 > – 2 ⇔ 7 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 2 + 3 < 3 ⇔ 5 < 3 (vô lí).
   Do đó cặp số (– 2; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 0 – 2.(– 1) < 0 ⇔ 2 < 0 (vô lí);
   (2) ⇔ 0 + 3.(– 1) > – 2 ⇔ – 3 > – 2 (vô lí);
   (3) ⇔ 0 + (– 1) < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Vậy (– 1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình x+y≤22x−3y>−2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2\\ 2x-3y>-2\end{array}\right..$

   A. (0; 0);

   B. (1; 1);

   C. (– 1; 1);

   Đáp án chính xác

   D. (– 1; – 1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là C
   Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2\left(1\right)\\ 2x-3y>-2\left(2\right)\end{array}\right..$
   +) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 0 + 0 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.0 – 3.0 > – 2 ⇔ 0 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.1 – 3.1 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.1 > – 2 ⇔ – 5 > – 2 (vô lí).
   Do đó cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 + (– 1) ≤ 2 ⇔ – 2 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.(– 1) > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Vậy cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2x−5y>12x+y>−5x+y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1\\ 2x+y>-5\\ x+y<-1\end{array}\right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ:

   A. (0; 0);

   B. (1; 0);

   C. (0; 2);

   D. (0; – 2).

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là D
   Ta xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1\left(1\right)\\ 2x+y>-5\left(2\right)\\ x+y<-1\left(3\right)\end{array}\right.$.
   +) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.0 > 1 ⇔ 0 > 1 (vô lí);
   (2) ⇔ 2.0 + 0 > – 5 ⇔ 0 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + 0 < – 1 ⇔ 0 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.1 – 5.0 > 1 ⇔ 2 > 1 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.1 + 0 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 1 + 0 < – 1 ⇔ 1 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.2 > 1 ⇔ – 10 > 1 (vô lí);
   (2) ⇔ 2.0 + 2 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + 2 < – 1 ⇔ 2 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (0; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = – 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.(– 2) > 1 ⇔ 10 > 1 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – 5 ⇔ – 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + (– 2) < – 1 ⇔ – 2 < – 1 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; – 2 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:
   

   A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ x+y\ge -1\\ x-y\le 2\\ x-y\ge -2\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   B. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 4\\ x-y\ge -1\\ x+y\le 2\\ x+y\ge -2\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x+y\ge -4\\ x-y\le 2\\ x-y\ge -2\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 1\\ x-y\ge -4\\ x+y\le 2\\ x+y\ge -2\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Đáp án đúng là A
   +) Gọi d₁ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 2; 0) và (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1\iff x-y=-2$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 > – 2.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≥ – 2.
   +) Gọi d₂ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (4; 0) và (0; 4) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\iff x+y=4$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 < 4.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≤ 4.
   +) Gọi d₃ là đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (2; 0) và (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-2}=1\iff x-y=2$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 < 2.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≤ 2.
   +) Gọi d₄ là đường thẳng đi qua hai điểm D và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 1; 0) và (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-1}=1\iff x+y=-1$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 > – 1.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≥ – 1.
   Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -2\\ x+y\le 4\\ x-y\le 2\\ x+y\ge -1\end{array}\right.$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = – x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình −2x+y≤2−x+2y≥4x+y≤5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = – x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+y\le 2\\ -x+2y\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

   A. 0

   Đáp án chính xác

   B. 1

   C. 2

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án đúng là B
   Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+y\le 2\\ -x+2y\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ sao cho biểu thức F = – x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
   Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:
   Ta có ba đường thẳng: d₁: – 2x + y = 2; d₂: – x + 2y = 4 và d₃: x + y = 5.
   +) Lấy O(0; 0) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.
   +) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.
   +) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d₃.
   Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:
   
   Ta đã chứng minh được biểu thức F = – x + y có giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của tam giác ABC.
   Tại điểm A, với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.
   Tại điểm B, với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.
   Tại điểm C, với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.
   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 khi x = 2 và y = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====