Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) {2x+3y=4x−3y=22x+y−z=3; b) {x+y+z=2x+3y+2z=83x−y+z=4; c) {x−y+5z=−22x+y+4z=2x+2y−z=4.

Câu hỏi:

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array};$
b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array};$
c) $\{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}.$

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ 3x=6\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2.2+3y=4\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2.2+0-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ z=1\end{array}.$
 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).
b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 4y+2z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 2y+z=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 0y+0z=-5\end{array}.$
Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) $\{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ -3y+6z=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -y+2z=-2\end{array}.$
Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Xét hệ phương trình với ẩn là x, y, z sau: x+y+z=2x+2y+3z=12x+y+3z=−1 a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc mấy đối với các ẩn x, y, z? b) Thử lại rằng bộ ba số (x; y, z) = (1; 3;–2) thoả mãn cả ba phương trình của hệ. c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, hãy kiểm tra bộ ba số (1; 1; 2) có thoả mãn hệ phương trình đã cho không.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
   Xét hệ phương trình với ẩn là x, y, z sau:
   $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+2y+3z=1\\ 2x+y+3z=-1\end{array}\right.$
   a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc mấy đối với các ẩn x, y, z?
   b) Thử lại rằng bộ ba số (x; y, z) = (1; 3;–2) thoả mãn cả ba phương trình của hệ.
   c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, hãy kiểm tra bộ ba số (1; 1; 2) có thoả mãn hệ phương trình đã cho không.

   Trả lời:

   a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc nhất đối với các ẩn x, y, z.
   b) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) có thoả mãn cả ba phương trình của hệ.
   Thử lại:
   1 + 3 + (–2) = 2;
   1 + 2 . 3 + 3 . (–2) = 1;
   2 . 1 + 3 + 3 . (–2) = –1.
   c) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) không thoả mãn hệ phương trình đã cho. Vì khi thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 1 + 1 + 2 = 2, đây là đẳng thức sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không. a) x+2y−3z=12x−3y+7z=153×2−4y+z=−3; b) −x+y+z=42x+y−3z=−13x−2z=−7.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
   a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y-3z=1\\ 2x-3y+7z=15\\ 3x^2-4y+z=-3\end{array}\right.$;
   b) $\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=4\\ 2x+y-3z=-1\\ 3x-2z=-7\end{array}\right.$.

   Trả lời:

   a) Bộ ba số (–3; 2;–1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
   Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (–3) + 2 . 2 – 3 . (–1) = 1, đây là đẳng thức sai.
   b) Bộ ba số (–3; 2;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
   Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
   –(–3) + 2 + (–1) = 4;
   2 . (–3) + 2 – 3 . (–1) = –1;
   3 . (–3) – 2 . (–1) = –7.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác. Cho hệ phương trình: x+y−2z=3y+z=72z=4. Hệ phương trình dạng tam giác có cách giải rất đơn giản. Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối cùng thay y và z tìm được vào phương trình đầu để tìm x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác.
   Cho hệ phương trình:
   $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+z=7\\ 2z=4\end{array}\right.$.
   Hệ phương trình dạng tam giác có cách giải rất đơn giản.
   Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối cùng thay y và z tìm được vào phương trình đầu để tìm x.

   Trả lời:

   +) Từ phương trình cuối ta tính được z = 2.
   +) Thay z = 2 vào phương trình thứ hai ta được y + 2 = 7, suy ra y = 5.
   +) Thay y = 5 và z = 2 vào phương trình đầu ta được x + 5 – 2 . 2 = 3, suy ra x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải hệ phương trình: 2x=3x+y=22x−2y+z=−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình:
   $\left\{\begin{array}{ll}2x& =3\\ x+y& =2\\ 2x-2y+z& =-1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   +) Từ phương trình đầu ta tính được x = $\frac{3}{2}$
   +) Thay x = $\frac{3}{2}$ vào phương trình thứ hai ta được $\frac{3}{2}$ + y = 2, suy ra y = $\frac{1}{2}$
   +) Thay x = $\frac{3}{2}$ và y = $\frac{1}{2}$ vào phương trình thứ ba ta được $2.\frac{3}{2}-2.\frac{1}{2}+z=-\mathrm{1,}$ suy ra z = –3.
   Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = $\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-3\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình: x+y−2z=3−x+y+6z=132x+y−9z=−5. a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu). b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối). c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được. d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình:
   $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ -x+y+6z=13\\ 2x+y-9z=-5\end{array}\right.$.
   a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).
   b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối).
   c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.
   d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

   Trả lời:

   a) Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất, ta được:
   (x + y – 2z) + (–x + y + 6z) = 3 = 13 $\iff$ 2y + 4z = 16 $\iff$ y + 2z = 8.
   b) Nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba, ta được:
   –2(x + y – 2z) + (2x + y – 9z) = –2 . 3 + (–5) $\iff$ –y – 5z = –11 $\iff$ y + 5z = 11.
   Hệ mới nhận được sau hai bước trên là: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ y+5z=11\end{array}\right..$
   c) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ ba, ta được:
   (y + 2z) – (y + 5z) = 8 – 11 $\iff$ –3z = –3 $\iff$ z = 1.
   Hệ tam giác nhận được là: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ z=1\end{array}\right..$
   d) $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2.1=8\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y=6\\ z=1\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x+6-2.1=3\\ y=6\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=6\\ z=1\end{array}\right..$
   Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (–1; 6; 1).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====