Chứng minh rằng với mọi n ∈ℕ*: a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4; b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$:
a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;
b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k
= 3(3k – 1 – 2k) + 4k
Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k
= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta có 2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (n + 1).2n = n.2n + 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có
   2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + … + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

   Trả lời:

   Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
   Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.                                               
   Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
   Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                    
   2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k = k.2k + 1. 
   Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:
   2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.
   Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
   2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1
   = k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1
   = (2k + 2).2k + 1
   = (k + 1).2.2k + 1
   = (k + 1)2k + 2
   = (k + 1).2(k + 1) + 1.
   Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đặt Sn=11.3+13.5+…+1(2n−1)(2n+1). a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.
   a) Tính S1, S2, S3.
   b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

   Trả lời:

   a) $S_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$
   b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}.$
   Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
   Bước 1. Với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$                                                   
   Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
   Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_k=\frac{k}{2k+1}.$
   Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k+1}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$
   Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
   $S_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=S_k+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$
   $=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$
   $=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$
   $=\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$
   Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 102n + 1 + 1 chia hết cho 11.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11.

   Trả lời:

   Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
   Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.                                         
   Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.
   Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.
   Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.
   Thật vậy, ta có:
   102(k + 1) + 1 + 1
   = 10(2k + 1) + 2 + 1
   = 100.102k + 1 + 1
   = 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1
   = 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1
   = 100(102k + 1 + 1) – 99.
   Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.
   Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5n ≥ 3n + 4n.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

   Trả lời:

   Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
   Bước 1. Với n = 2 ta có 52 = 25 = 32 + 42.                                               
   Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.
   Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5k ≥ 3k + 4k.
   Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5k + 1 ≥ 3k + 1 + 4k + 1.
   Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
   5k + 1 = 5.5k ≥ 5(3k + 4k) = 5. 3k + 5.4k ≥ 3. 3k + 4.4k = 3k + 1 + 4k + 1.
   Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. a) Khai triển (1 + x)10. b) (1,1)10 và 2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Khai triển (1 + x)10.
   b) (1,1)10 và 2.

   Trả lời:

   a) ${\left(1+x\right)}^{10}=C_{10}^0{1}^{10}+C_{10}^1{1}^{9}x+C_{10}^2{1}^8{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^{9}1x^9+C_{10}^{10}{x}^{10}$
   $=1+C_{10}^{1}x+C_{10}^2{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^9{x}^9+x^{10}.$
   b) Áp dụng câu a) ta có:
   ${\left(\mathrm{1,1}\right)}^{10}={\left(1+\mathrm{0,1}\right)}^{10}$
   $=1+C_{10}^1\mathrm{.0,1}+C_{10}^2{\left(\mathrm{0,1}\right)}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^9{\left(\mathrm{0,1}\right)}^9+{\left(\mathrm{0,1}\right)}^{10}>1+C_{10}^1\mathrm{.0,1}=2.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====