Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh: a) EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→ ; b) EA→=4EG→ ; c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và AG→=34AE→ .

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ ;
b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ ;
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

Trả lời:

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ .
Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{}}$ .
Lại cso G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .
Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .
Ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$
$=\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}\right)$
$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

=  $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$
$=4\overrightarrow{EG}$.
Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ .
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$ .
Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$
Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ .
c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EG}$  cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.
Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.
Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.
Vì EA = 4 EG nên AG =$\frac{3}{4}$ AE.
Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$  và $\overrightarrow{AE}$  cùng hướng.
Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi v1→,  v2→  lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu. Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc v1→,  v2→  là như thế nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.
   
   Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  là như thế nào?

   Trả lời:

   Qua bài học này, chúng ta sẽ biết được hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  cùng phương với nhau và liên hệ với nhau theo công thức: $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$  với $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$  và k ≠ 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Gọi B là trung điểm của AC. Chứng tỏ rằng AC→=AB→+AB→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi B là trung điểm của AC.
   
   Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$ .

   Trả lời:

   Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ .
   Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Quan sát vectơ AB→  và AC→ , nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ 2AB→  với AB→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ , nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2\overrightarrow{AB}$  với $\overrightarrow{AB}$ .

   Trả lời:

   Vectơ $2\overrightarrow{AB}$  cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$  và $\left|2\overrightarrow{AB}\right|=2\left|\overrightarrow{AB}\right|$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: AG→=aAM→;  GN→=bGB→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$ .

   Trả lời:

   

   G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó: AG = $\frac{2}{3}$ AM; GN =$\frac{1}{2}$ GB.
   + Ta có: $\overrightarrow{AG}$  và $\overrightarrow{AM}$  là hai vectơ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{AG}\right|=\frac{2}{3}\left|\overrightarrow{AM}\right|$ .
   Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ .  Vậy a = $\frac{2}{3}$ .
   + Lại có: $\overrightarrow{GN}$  và $\overrightarrow{GB}$  là hai vectơ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{GN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{GB}\right|$ .
   Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$ . Vậy $b=-\frac{1}{2}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh 3AB→+2BC→−2AB→+3BC→=AB→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

   Trả lời:

   Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có: 
   Ta có: $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)$

   $=3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}$
   $=\left(3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}\right)+\left(6\overrightarrow{BC}-6\overrightarrow{BC}\right)$
   $=\overrightarrow{AB}$.
   Vậy $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====