Cho ba vecto u→x1;y1,v→x2;y2,w→x3;y3.  a) Tính u→v→+w→,u→.v→+u→.w→ theo tọa độ các vecto u→,v→,w→. b) So sánh u→v→+w→ và u→.v→+u→.w→. c) So sánh u→.v→ và v→.u→.

Câu hỏi:

Cho ba vecto $\overrightarrow{u}\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}\left(x_2;y_2\right),\overrightarrow{w}\left(x_3;y_3\right).$ 
a) Tính $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$
b) So sánh $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.
c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Trả lời:

a) Ta có: $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1\left(y_2+y_3\right)=x_1{x}_2+x_1{x}_3+y_1.y_2+y_1.y_3$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2,\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$
 $\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ (2)
b) Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$
c) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2;\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1=x_1.x_2+y_1.y_2.$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto AB→ và AC→. Hãy tìm số đo các góc giữa BC→ và BD→, DA→ và DB→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.
   

   Trả lời:

   Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là góc CBD bằng 30⁰.
   Xét tam giác BCD, có:
   $\widehat{BCA}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}\iff \widehat{CDB}=\widehat{BCA}-\widehat{CBD}={80}^0-{30}^0={50}^0$
   Suy ra số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50⁰.
   Vậy số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng 30⁰, số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50⁰.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 00, bằng 1800.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0⁰, bằng 180⁰.

   Trả lời:

   Góc giữa hai vecto bằng 0⁰ khi hai vecto cùng hướng.
   Góc giữa hai vecto bằng 180⁰ khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác đều ABC. Tính AB→,BC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right).$

   Trả lời:

   
   Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$
   Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}={60}^0$
   $\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ACB}={60}^0$ (hai góc so le trong)
   $\Rightarrow \widehat{BAD}={120}^0$
   Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}={120}^0$.
   Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Khi nào tích vô hướng của hai vecto u→,v→ là một số dương? Là một số âm?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

   Trả lời:

   Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:
   $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$
   Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
   Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.
   Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số âm thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc tù hoặc bằng 180⁰.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Khi nào thì u→.v→2=u→2.v→2?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
   $\iff {\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
   Để ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$ thì $c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0\end{array}\right.$
   Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====