Khi nào tích vô hướng của hai vecto u→,v→ là một số dương? Là một số âm?

Câu hỏi:

Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Trả lời:

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$
Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.
Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số âm thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc tù hoặc bằng 180⁰.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto AB→ và AC→. Hãy tìm số đo các góc giữa BC→ và BD→, DA→ và DB→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.
   

   Trả lời:

   Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là góc CBD bằng 30⁰.
   Xét tam giác BCD, có:
   $\widehat{BCA}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}\iff \widehat{CDB}=\widehat{BCA}-\widehat{CBD}={80}^0-{30}^0={50}^0$
   Suy ra số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50⁰.
   Vậy số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng 30⁰, số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50⁰.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 00, bằng 1800.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0⁰, bằng 180⁰.

   Trả lời:

   Góc giữa hai vecto bằng 0⁰ khi hai vecto cùng hướng.
   Góc giữa hai vecto bằng 180⁰ khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác đều ABC. Tính AB→,BC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right).$

   Trả lời:

   
   Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$
   Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}={60}^0$
   $\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ACB}={60}^0$ (hai góc so le trong)
   $\Rightarrow \widehat{BAD}={120}^0$
   Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}={120}^0$.
   Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Khi nào thì u→.v→2=u→2.v→2?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
   $\iff {\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
   Để ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$ thì $c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0\end{array}\right.$
   Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính AB→.AC→ theo a, b, c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ theo a, b, c.

   Trả lời:

   

   Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)=AB.AC.\cos BAC=bc.c\text{osBAC}$
   Theo định lí cos, ta có:
   $\text{cosBAC=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2}{+}=\frac{b^2}{+}$.
   Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====