Vở thực hành Toán 7 Bài 34 (Kết nối tri thức): Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Giải VTH Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Câu 1 trang 76 VTH Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G. Khi đó ta có:

A. $\frac{G A}{M A} = \frac{1}{2}$ ;

B. $\frac{G B}{N G} = \frac{1}{2}$ ;

C. $\frac{G C}{P C} = \frac{2}{3}$ ;

D. $\frac{M A}{G A} = \frac{2}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G

Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G nên G là trọng tâm của tam giác.

Khi đó ta có: $\frac{G A}{M A} = \frac{G B}{N B} = \frac{G C}{P C} = \frac{2}{3}$ . Vậy trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án C đúng.

Câu 2 trang 77 VTH Toán 7 Tập 2: Với giả thiết như ở Câu 1, phương án nào sau đây là sai?

A. GA = 2GM;

B. $\frac{N G}{G B} = \frac{1}{2}$ ;

C. $\frac{P G}{P C} = \frac{1}{3}$ ;

D. $\frac{M A}{G A} = \frac{2}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với giả thiết như ở Câu 1, phương án nào sau đây là sai?GA = 2GM; NG/GB=1/2

Theo Câu 1, ta có: $\frac{G A}{M A} = \frac{G B}{N B} = \frac{G C}{P C} = \frac{2}{3}$ .

Từ $\frac{G A}{M A} = \frac{2}{3}$ , suy ra 3GA = 2MA hay 3GA = 2(GA + GM). Suy ra GA = 2GM. Vậy đáp án A đúng.

Tương tự, ta có GB = 2NG, suy ra $\frac{N G}{G B} = \frac{1}{2}$ . Vậy đáp án B đúng.

Từ $\frac{G C}{P C} = \frac{2}{3}$ , suy ra 3GC = 2PC hay 3(PC – PG) = 2PC, suy ra PC = 3PG.

Do đó, $\frac{P G}{P C} = \frac{1}{3}$ . Vậy đáp án C đúng.

Đáp án D sai do $\frac{G A}{M A} = \frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{M A}{G A} = \frac{3}{2}$ .

Câu 3 trang 77 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Hãy điền vào chỗ trống để được khẳng định đúng.

a) Nếu AD, BE cắt nhau tại I thì CF ………………….. I.

b) Nếu I là điểm chung của ba đường phân giác thì I ………………………………………………

Lời giải:

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF

a) Nếu AD, BE cắt nhau tại I thì CF đi qua I.

b) Nếu I là điểm chung của ba đường phân giác thì I là giao điểm của ba đường phân giác này và cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Câu 4 trang 77 VTH Toán 7 Tập 2: Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. I không cách đều ba cạnh của tam giác;

B. I cách đều ba đỉnh của tam giác;

C. I là trọng tâm của tam giác;

D. I cách đều ba cạnh của tam giác.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác nên I cách đều ba cạnh của tam giác.

Bài 1 (9.20) trang 77 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP; BG = ? GN, CG = ? GP.

Lời giải:

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

BG = $\frac{2}{3}$ BN, CG = $\frac{2}{3}$ CP,

BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Bài 2 (9.21) trang 77 VTH Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

Chứng minh rằng:Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên

a) Tam giác ABC cân tại A và có BN, CP là hai đường trung tuyến. Ta cần chứng minh BN = CP.

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; $\hat{P B C} = \hat{N C B}$ .

Do N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên BP = $\frac{1}{2}$ AB, CN = $\frac{1}{2}$ AC, do đó BP = CN.

Xét hai tam giác BCP và CBN, ta có:

BP = CN; $\hat{P B C} = \hat{N C B}$ ; BC chung, do đó ∆BCP = ∆CBN (c.g.c).

Suy ra CP = BN.

b) BN, CP là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, BN = CP. Ta sẽ chứng minh AB = AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét hai tam giác PGB và NGC, ta có:

PG = NG; BG = CG; $\hat{B G P} = \hat{C G N}$ (đối đỉnh).

Vậy ∆PGB = ∆NGC (c.g.c), suy ra BP = NC.

Do đó AB = 2PB = 2NC = AC.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 3 (9.22) trang 78 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Trong tam giác GBC, vì $\hat{G B C} > \hat{G C B}$ nên GC > GB hay $\frac{2}{3}$ CN > $\frac{2}{3}$ BM.

Suy ra CN > BM.

Bài 4 (9.23) trang 78 VTH Toán 7 Tập 2: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng 120°.

Lời giải:

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC

Ta có $\hat{I B C} = \frac{\hat{B}}{2}, \hat{I C B} = \frac{\hat{C}}{2}$ , $\hat{B I C} = 180 ° - (\frac{\hat{B}}{2} + \frac{\hat{C}}{2})$ ,

mà $\frac{\hat{B}}{2} + \frac{\hat{C}}{2} = \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

Do đó $\hat{B I C}$ = 180° – 30° = 150°.

Bài 5 (9.24) trang 79 VTH Toán 7 Tập 2: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Lời giải:

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF

Do ∆ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Do BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B C} = 2 \hat{E B C}$ .

Do CF là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{A C B} = 2 \hat{F C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên $\hat{E B C} = \hat{F C B}$ .

Xét ∆FBC và ∆ECB có:

$\hat{F C B} = \hat{E B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

$\hat{F B C} = \hat{E C B}$ (do $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ ).

Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g.c.g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Bài 6 trang 79 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60°. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở E. Kẻ EM vuông góc với BC (M ∈ BC).

a) Chứng minh ∆ABE = ∆MBE.

b) Chứng minh MB = MC.

c) Gọi I là giao điểm của BA và ME. Chứng minh IE > EM.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60 độ. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở E

a) Xét hai tam giác vuông ABE và MBE, ta có:

BE cạnh chụng, $\hat{A B E} = \hat{M B E}$ (BE là tia phân giác góc ABC).

Do đó ∆ABE = ∆MBE (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Trong tam giác vuông ABC, ta có $\hat{B} = 60 °$ nên $\hat{C} = 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Vì BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B E} = \hat{C B E} = \frac{\hat{A B C}}{2} = \frac{60 °}{2} = 30 °$ .

Vậy tam giác BEC có $\hat{C} = \hat{C B E} = 30 °$ nên tam giác BEC cân tại E.

Tam giác BEC cân tại E và có EM là đường cao nên cũng là trung tuyến , suy ra MB = MC.

c) Ta có góc $\hat{E A I}$ kề bù với góc vuông $\hat{B A C}$ nên $\hat{E A I} = 90 °$ .

Trong tam giác vuông AEI có cạnh IE là cạnh huyền nên IE > AE. (1)

Theo câu a) ∆ABE = ∆MBE nên AE = EM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra IE > EM.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy