Giải VTH Toán lớp 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Câu 1 trang 69 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó:
A. AC < AH;
B. AH > AB;
C. AH < AC;
D. Nếu thì AC > AB.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Tam giác ABC có đường cao AH nên AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC và AB, AC là các đường xiên kẻ từ A đến BC.
Do đó, AB > Ah, AC > AH, vậy đáp án A, B sai và đáp án C đúng.
Ta có thì AC < AB nên đáp án D sai.
Câu 2 trang 69 VTH Toán 7 Tập 2: Cho Hình 9.5, kết luận nào sau đây là đúng?
A. AH = AM;
B. HM + MN > AN;
C. HM > AM;
D. AH < AN.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Do AH vuông góc với đường thẳng MN tại H nên AH là đường vuông góc kẻ từ A đến MN và AM, AN là các đường xiên kẻ từ A đến MN.
Suy ra AH < AM, AH < AN. Vậy đáp án D đúng.
Bài 1 (9.7) trang 69 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông.
a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C?
b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD?
Lời giải:
a) Ta có AB = AD và CB = CD nên hai đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C.
b) • Ta có CB ⊥ AB nên CB là khoảng cách từ C đến AB. Tương tự do CD ⊥ AD nên CD là khoảng cách từ C đến AD. Mặt khác ta có CB = CD. Vậy C là một điểm cách đều hai đường thẳng AB và AD.
• Vì điểm A nằm trên hai đường thẳng AB và AD nên khoảng cách từ A đến hai đường thẳng ấy bằng nhau. Vậy A cũng là một điểm cách đều hai đường thẳng AB và AD.
Bài 2 (9.8) trang 69 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C (H.9.7).
a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB.
Lời giải:
a) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, ta có AH là đường vuông góc hạ từ điểm A xuống BC. Gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Nếu M khác H thì AM là đường xiên kẻ từ A đến BC. Do đó theo định lí, AH < AM. Vậy AM nhỏ nhất bằng AH khi M trùng H.
b) M là một điểm nằm giữa B và C. Ta cần chứng minh AM < AB. Muốn vậy, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu , thì AM là đường vuông góc, còn AB là đường xiên kẻ từ A xuống BC theo định lí về đường vuông góc và đường xiên, ta có AM < AB.
Trường hợp 2: Nếu là góc tù thì trong tam giác AMB, góc AMB lớn nhất nên AM < AB.
Trường hợp 3: Nếu là góc nhọn thì góc AMC kề bù với nó nên là góc tù.
Trong tam giác AMC, góc AMC lớn nhất. Do đó AM < AC = AB.
Bài 3 (9.9) trang 70 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC (M, N không phải là đỉnh của tam giác) (H.9.8). Chứng minh rằng MN < BC. (Gợi ý. So sánh MN với NB, NB với BC).
Lời giải:
Tam giác NAM vuông tại A nên là góc nhọn, suy ra là góc tù. Trong tam giác NMB, góc NMB là lớn nhất nên MN < NB. (1)
Tương tự, tam giác ABN vuông tại A nên là góc nhọn; suy ra là góc tù. Trong tam giác BCN, góc BNC lớn nhất nên BN < BC. (2)
Từ (1) và (2) ta có MN < BC.
Bài 4 trang 70 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. D là một điểm bất kì trên đoạn BC. Từ B, C kẻ các đường vuông góc BK, CN đến đường thẳng AD.
a) So sánh BK, BD.
b) So sánh BK + CN với BC.
c) Chứng minh BK + CN < (AB + BC + CA).
Lời giải:
a) Trong tam giác vuông BKD có BD là cạnh huyền nên BK < BD. (1)
b) Từ (1) suy ra BK + CN < BD + CN. (2)
Trong tam giác vuông CND có CD là cạnh huyền nên CN < CD,
suy ra BD + CN < BD + CD. (3)
Từ (2) và (3) suy ra BK + CN < BD + CN < BD + CD = BC.
Do đó, BK + CN < BC. (4)
c) Trong tam giác vuông ABK có AB là cạnh huyền nên BK < AB. (5)
Trong tam giác vuông CAN có AC là là cạnh huyền nên CN < AC. (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra (BK + CN) + BK + CN < BC + AB + AC,
hay 2(BK + CN) < AB + BC + CA,
do đó BK + CN < (AB + BC + CA).