Vở bài tập Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 87 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Nếu một cạnh và hai góc kề nhau của tam giác này bằng ……… và ……… của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A‘}$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B‘}$ thì ∆ABC = ∆A’B’C’ (g.c.g) (Hình 40).

Lời giải:

– Nếu một cạnh và hai góc kề nhau của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề nhau của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A}=\widehat{A‘}$, AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B‘}$ thì ∆ABC = ∆A’B’C’ (g.c.g) (Hình 40).

Câu 2 trang 87 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng ………… và ………………kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng ………. và ………… của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nhận xét

+ Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì …….. hai cạnh đó

+ Nếu một điểm nằm trong một góc và ………..……. hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Lời giải:

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nhận xét

+ Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

+ Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 88 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thoả mãn: BC = B’C’ = 3 cm, $\hat{B}=\widehat{B‘}$ = 60^o, $\hat{C}$ = 50^o, $\widehat{A‘}$ = 70^o. Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác A’B’C’, ta có: $\widehat{A‘}+\widehat{B‘}+\widehat{C‘}$ = 180^o, (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra cm, $\widehat{C‘}$ = 180^o – ($\widehat{A‘}+\widehat{B‘}$) = 180^o – ( 70^o + 60^o) = 50^o.

Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ ta có:

BC = B’C’ = 3 cm, $\hat{B}=\widehat{B‘}$ = 60^o, $\hat{C}=\widehat{C‘}$ = 50^o,

Suy ra ∆ABC = ∆A’B’C’ (g.c.g).

Câu 2 trang 88 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Có ba trạm quan sát A, B, C, trong đó trạm quan sát C ở giữa hồ. Người ta muốn đo khoảng cách từ A và từ B đến C. Do không thể đo trực tiếp được khoảng cách trên nên người ta làm như sau (Hình 42):

– Đo góc BAC được 60^o, đo góc ABC được 45^o.

– Kẻ tia Ax sao cho $\widehat{\text{BAx}}$ = 60^o, kẻ tia By sao cho $\widehat{\text{ABy}}$ = 45^o, xác định giao điểm D của hai tia đó.

– Đo khoảng cách AD và BD. Ta có AC = AD và BC = BD.

Em hãy giải thích cách làm đó.

Lời giải:

Xét hai tam giác ABC và ABD, ta có:

$\widehat{\mathrm{CAB}}$ = $\widehat{\mathrm{DAB}}$ = 60^o, $\widehat{\mathrm{CBA}}$ = $\widehat{\mathrm{DBA}}$ = 45^o, AB là cạnh chung

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (g.c.g).

Do đó AC = AD, BC = BD (hai cạnh tương ứng)

III. Bài tập

Câu 1 trang 89 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thoả mãn: AB = A’B’, $\hat{A}=\widehat{A‘}$, $\hat{C}=\widehat{C‘}$. Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

a) Xét hai tam giác ABC và A’B’C’, ta có: , $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}$= $\widehat{A‘}+\widehat{B‘}+\widehat{C‘}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A}=\widehat{A‘}$, $\hat{C}=\widehat{C‘}$(giả thiết) nên $\hat{B}=\widehat{B‘}$

Xét hai tam giác ABC và A’B’C’, ta có:

AB = A’B’ (giả thiết), $\hat{A}=\widehat{A‘}$ và $\hat{B}=\widehat{B‘}$

Suy ra: ∆ABC = ∆A’B’C’ (g.c.g).

Câu 2 trang 89 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 43 có AM = BN, $\hat{A}=\hat{B}$. Chứng minh OA = OB và OM = ON.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác OAM và OBN, ta có:

$\hat{A}+\hat{M}+\widehat{\mathrm{AOM}}$ = $\hat{B}+\hat{N}+\widehat{\mathrm{BON}}$= 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A}=\hat{B}$, $\widehat{\mathrm{AOM}}=\widehat{BON}$(hai góc đối đỉnh) nên $\hat{N}=\hat{M}$

Xét hai tam giác OAM và OBN, ta có:

AM = BN (giả thiết), $\hat{A}=\hat{B}$ và $\hat{N}=\hat{M}$

Suy ra ∆OAM = ∆OBN (g.c.g)

Do đó OA = OB, OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Câu 3 trang 89 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 44 có $\hat{N}=\hat{P}$ = 90^o, $\widehat{\mathrm{PMQ}}=\widehat{\mathrm{NQM}}$. Chứng minh: MN = QP, MP = QN.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông MNQ và QPM, ta có:

MQ là cạnh chung, $\widehat{\mathrm{PMQ}}=\widehat{\mathrm{NQM}}$.

Suy ra ∆MNQ = ∆QPM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó MN = QP, MP = QN (các cặp cạnh tương ứng).

Câu 4 trang 90 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 45 có $\widehat{\mathrm{AHD}}$ = $\widehat{\mathrm{BKC}}$ = 90^o, DH = CK, $\widehat{\mathrm{DAB}}$= $\widehat{\mathrm{CBA}}$. Chứng minh AD = BC.

Lời giải:

Ta có $\widehat{\mathrm{DAH}}$ + $\widehat{\mathrm{DAB}}$ = 180^o (hai góc kề bù), suy ra $\widehat{\mathrm{DAH}}$ = 180^o – $\widehat{\mathrm{DAB}}$

$\widehat{\mathrm{CBK}}$ + $\widehat{\mathrm{CBA}}$ = 180^o (hai góc kề bù), suy ra $\widehat{\mathrm{CBK}}$= 180^o – $\widehat{\mathrm{CBA}}$

Mà $\widehat{\mathrm{DAB}}$ = $\widehat{\mathrm{CBA}}$(giả thiết), suy ra $\widehat{\mathrm{DAH}}$ = $\widehat{\mathrm{CBK}}$ .

Xét hai tam giác DAH và CBK, ta có:

DH = CK (giả thiết), $\widehat{\mathrm{DAH}}$ = $\widehat{\mathrm{CBK}}$.

Suy ra ∆DAH = ∆CBK (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Do đó AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Câu 5 trang 90 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho tam giác ABC có $\hat{B}$ > $\hat{C}$. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại điểm D.

a) Chứng minh $\widehat{\mathrm{ADB}}<\widehat{\mathrm{ADC}}$;

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho $\widehat{\mathrm{ADx}}$ = $\widehat{\mathrm{ADB}}$. Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh ∆ABD = ∆AED, AB < AC.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác ADB và ADC, ta có:

$\widehat{DAB}$+ $\hat{B}$ + $\widehat{ADB}$ = $\widehat{DAC}$ + $\hat{C}$+ $\widehat{ADC}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{DAB}$ = $\widehat{DAC}$, $\hat{B}$ > $\hat{C}$ suy ra $\widehat{ADB}$ < $\widehat{ADC}$.

b) Xét hai tam giác ABD và AED, ta có:

$\widehat{DAB}$ = $\widehat{DAE}$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC);

AD là cạnh chung;

$\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADE}$ (giả thiết).

Suy ra ∆ABD = ∆AED (g.c.g).

Do đó:

AB = AE (hai cạnh tương ứng).

Vì E thuộc cạnh AC, E khác A và C nên AE < AC. Suy ra AB < AC.

Câu 6 trang 91 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho ∆ABC = ∆MNP. Tia phân giác của góc BAC và NMP lầm lượt cắt các cạnh BC và NP tại D, Q. Chứng minh AD = MQ

Lời giải:

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\mathrm{BAD}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{BAC}}$;

MQ là tia phân giác của góc NMP nên $\widehat{\mathrm{NMQ}}$ = $\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{NMP}}$;

Mà $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = $\widehat{\mathrm{NMP}}$ (vì ∆ABC = ∆MNP), suy ra $\widehat{\mathrm{BA}D}$= $\widehat{\mathrm{NMQ}}$

Xét hai tam giác ABD và NMQ, ta có:

$\widehat{\mathrm{BA}D}$ = $\widehat{\mathrm{NMQ}}$, AB = MN, $\hat{B}=\hat{N}$ (vì ∆ABC = ∆MNP).

Suy ra ∆ABD = ∆MNQ (g.c.g).

Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng).

Câu 7 trang 91 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 48 có AB // CD, AD // BC. Chứng minh AB = CD, AD = BC

Lời giải:

Xét hai tam giác ABD và CDB, ta có

$\widehat{\mathrm{ABD}}=$$\widehat{\mathrm{CDB}}$ ( hai góc so le trong);

BD là cạnh chung;

$\widehat{\mathrm{ADB}}=$$\widehat{\mathrm{CBD}}$ ( hai góc so le trong).

Suy ra ∆ABD = ∆CDB (g.c.g).

Do đó AB = CD, AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Câu 8 trang 91 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Trong Hình 49 có $\widehat{\mathrm{ACB}}$ = $\widehat{\mathrm{ADB}}$ = 90^o, $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = $\widehat{\mathrm{BAD}}$. Chứng minh:

a) BC = BD, AC = AD;

b) OC = OD và OA vuông góc với CD.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ABC và ABD, ta có:

AB là cạnh chung, $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = $\widehat{\mathrm{BAD}}$ (giả thiết).

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó BC = BD, AC = AD (các cặp cạnh tương ứng).

b) Xét hai tam giác AOC và AOD, ta có

AO là cạnh chung, $\widehat{\mathrm{OAC}}$ = $\widehat{\mathrm{OAD}}$ ( giả thiết)

AC = AD (chứng minh trên)

Suy ra ∆AOC = ∆AOD (c.g.c).

Do đó OC = OD (hai cạnh tương ứng), $\widehat{AOC}$ = $\widehat{AOD}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AOC}$ + $\widehat{AOD}$ = 180^o (hai góc kề bù). Suy ra $\widehat{AOC}$ = $\widehat{AOD}$ = 90^o

Vậy AO ⊥ CD.