Vở bài tập Toán 7 Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 42 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc tích của một số với lũy thừa có số mũ nguyên dương của biến đó. Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng ax^k, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức ax^k .

– Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

– Để cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

ax^k + bx^k = (a + b)x^k ; ax^k – bx^k = (a – b)x^k , k ∈ ℕ*

– Sắp xếp đa thức một biến theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

– Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

– Nếu tại x = a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 43 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến?

a) x² + 9.

b) $\frac{2}{x^2}$ + 2x + 1.

c) 3x + $\frac{2}{5}$y.

Lời giải:

Các biểu thức sau đây là đa thức một biến:

a) x² + 9.

b) $\frac{2}{x^2}$ + 2x + 1.

Câu 2 trang 43 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) x² + $\frac{1}{4}$x² – 5x² =

………………………………………………………………………………………………………….

b) y⁴ + 6y⁴ – $\frac{2}{5}$y⁴ =

………………………………………………………………………………………………………….

Lời giải:

a) x² + $\frac{1}{4}$x² – 5x² = (1 + $\frac{1}{4}$ – 5) x² = $\frac{–15}{4}$x²;

b) y⁴ + 6y⁴ – $\frac{2}{5}$y⁴ = ( 1 + 6 – $\frac{2}{5}$) y⁴ = $\frac{33}{5}$y⁴.

Câu 3 trang 43 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

P(y) = –2y³ + y + $\frac{11}{7}$y³ + 3y² – 5 – 6y² + 9

= ( …. + ….) y³ + (….. – …..)y² + y + …..

= …………………………………………………………………….

Lời giải:

P(y) = –2y³ + y + $\frac{11}{7}$y³ + 3y² – 5 – 6y² + 9

= (–2 + $\frac{11}{7}$) y³ + (3 – 6) y² + y + 9

= $\frac{–3}{7}{y}^3–3y^2+y+9$

Câu 4 trang 43 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Sắp xếp đa thức H(x) = –0,5x⁸ + 4x³ + 5x¹⁰ – 1 theo:

a) Số mũ giảm dần của biến ta được H(x) = ………………………………………………………………………………………………………….

b) Số mũ tăng dần của biến ta được H(x) = …………………………………………………………………………………………………………

Lời giải:

Sắp xếp đa thức H(x) = –0,5x⁸ + 4x³ + 5x¹⁰ – 1 theo:

a) Số mũ giảm dần của biến ta được H(x) = 5x¹⁰ – 0,5x⁸ + 4x³ – 1

b) Số mũ tăng dần của biến ta được H(x) = –1 + 4x³ – 0,5x⁸ + 5x¹⁰

Câu 5 trang 44 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức R(x) = –1975x³ +1945x⁴ + 2021x⁵ – 4,5.

a) Sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được: R(x) = ………………………………………………………………………………………………………….

b) Bậc của đa thức R(x) là

………………………………………………………………………………………………………….

c) Hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x) lần lượt là:

………………………………………………………………………………………………………….

Lời giải:

Cho đa thức R(x) = –1975x³ +1945x⁴ + 2021x⁵ – 4,5 .

a) Sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được: R(x) = 2021x⁵ + 1945x⁴ – 1975x³ – 4,5

b) Bậc của đa thức R(x) là 5.

c) Hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x) lần lượt là 2021 và – 4,5.

Câu 6 trang 44 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Viết Đ (đúng), S (sai) thích hợp vào □ sau mỗi phát biểu:

a) x = 4 và y = – 4 là nghiệm của đa thức P(x) = x² – 16. □

b) y = –2 là nghiệm của đa thức Q(y) = –2y³ + 4. □

Lời giải:

a) x = 4 và y = – 4 là nghiệm của đa thức P(x) = x² – 16 

b) y = –2 là nghiệm của đa thức Q(y) = –2y³ + 4. 

III. Bài tập

• Câu 1 trang 44 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến ? Tìm biến và bậc của đa thức đó .

  a) –2x

  b) –x² – x + $\frac{1}{2}$

  c) $\frac{4}{{\text{x}}^2+1}$ + x²

  d) y² – $\frac{3}{y}$ + 1

  e) –6z + 8

  g) –2t²⁰²¹ + 3t²⁰²⁰ + t – 1

  Lời giải:

  a) –2x là đơn thức một biến.

  b) –x² – x + $\frac{1}{2}$ là đa thức một biến bậc 2.

  c) $\frac{4}{{\text{x}}^2+1}$ + x² không là đa thức một biến.

  d) y² – $\frac{3}{y}$ + 1 không là đa thức một biến.

  e) –6z + 8 là đa thức một biến bậc 1.

  g) –2t²⁰²¹ + 3t²⁰²⁰ + t – 1 là đa thức một biến bậc 2021.

• Câu 2 trang 44 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Thực hiện mỗi phép tính sau:

  a) $\frac{4}{9}$x + $\frac{2}{3}$x =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) –12y² + 0,7y² =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  c) –21t³ – 25t³ =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) $\frac{4}{9}$x + $\frac{2}{3}$x = $\left(\frac{4}{9}+\frac{2}{3}\right)x=\frac{10}{9}x$

  b) –12y² + 0,7y² = (–12 + 0,7 )y² = –11,3y²

  c) –21t³ – 25t³ = ( –21 – 25)t³ = –46t³

• Câu 3 trang 45 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đa thức:

  P(y) = –12y⁴ + 5y⁴ + 13y³ – 6y³ + y – 1 + 9;

  Q(y) = –20y³ + 31y³ + 6y – 8y + y – 7 + 11.

  a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp mỗi đa thức theo số mũ giảm dần của biến, ta được:

  P(y) =……………………………………………………………………………………………………

  Q(y) =………………………………………………………………………………………………….

  b) Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(y) lần lượt là:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức Q(y) lần lượt là:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp mỗi đa thức theo số mũ giảm dần của biến, ta được:

  P(y) = (–12 + 5 )y⁴ + ( 13 – 6 )y³ + y – 1 + 9

  = –7y⁴ + 7y³ + y + 8

  Q(y) = (–20 + 31)y³ + ( 6 – 8 + 1)y – 7 + 11

  = 11y³ – y + 4

  b)

  Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(y) lần lượt là: 4, –7, 8

  Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức Q(y) lần lượt là: 3, 11, 4.

• Câu 4 trang 45 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0 ). Chứng tỏ rằng:

  a) P(0) = c;

  b) P(1) = a + b + c;

  c) P(–1) = a – b + c.

  Lời giải:

  a) P(0) = a.0² + b.0 + c = c .

  b) P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c.

  c) P(–1) = a. (–1)² + b.( –1) + c = a – b + c

• Câu 5 trang 45 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Kiểm tra xem

  a) x = 2, x = $\frac{4}{3}$ có là nghiệm của đa thức P(x) = 3x – 4 hay không;

  b) y = 1, y = 4 có là nghiệm của đa thức Q(y) = y² – 5y + 4 hay không.

  Lời giải:

  a) Ta có: P(2) = 3.2 – 4 = 6 – 4 = 2 ≠ 0.

  Vậy x = 2 không phải nghiệm của P(x) = 3x – 4 .

  $P\left(\frac{4}{3}\right)=3.\frac{4}{3}–4=4–4=0$

  Vậy x = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của P(x) = 3x – 4 .

  b) Ta có:

  Q(1) = 1² – 5.1 + 4 = 1 – 5 + 4 = 0.

  Vậy y = 1 là nghiệm của Q(y) = y² – 5y + 4.

  Q(4) = 4² – 5.4 + 4 = 16 – 20 + 4 = 0.

  Vậy y = 4 là nghiệm của Q(y) = y² – 5y + 4.

• Câu 6 trang 45 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Theo tiêu chuẩn của Tổ chức Y tế Thế giới (WHO), đối với bé gái, công thức tính cân nặng chuẩn là C = 9 + 2(N – 1) (kg), công thức tính chiều cao chuẩn là H = 75 + 5( N – 1) (cm), trong đó N là số tuổi của bé gái.

  a) Cân nặng chuẩn của một bé gái 3 tuổi là:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi là:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) Để biết một bé gái 3 tuổi nặng 13,5 kg và cao 86 cm có đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới hay không, ta làm như sau:

  – So sánh cân nặng của bé gái đó ( 13,5 kg) với cân nặng chuẩn của một bé gái 3 tuổi đã tính ở câu a (….. kg), ta có ………………. nên bé gái đó …. tiêu chuẩn về cân nặng của Tổ chức Y tế Thế giới.

  – So sánh chiều cao của bé gái đó (86 cm) với chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi đã tính ở câu a (….. cm), ta có ………………. nên bé gái đó …. tiêu chuẩn về chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới.

  Lời giải:

  a) Cân nặng chuẩn của một bé gái 3 tuổi là: C = 9 + 2( 3 – 1 ) = 13 (kg)

  Chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi là: H = 75 + 5(3 – 1 ) = 85 (cm).

  b) Để biết một bé gái 3 tuổi nặng 13,5 kg và cao 86 cm có đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới hay không, ta làm như sau:

  – So sánh cân nặng của bé gái đó ( 13,5 kg) với cân nặng chuẩn của một bé gái 3 tuổi đã tính ở câu a (13 kg), ta có 13,5 kg > 13 kg nên bé gái đó đạt tiêu chuẩn về cân nặng của Tổ chức Y tế Thế giới.

  – So sánh chiều cao của bé gái đó (86 cm) với chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi đã tính ở câu a (85 cm), ta có 86 cm > 85 cm nên bé gái đó đạt tiêu chuẩn về chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới.

• Câu 7 trang 45 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nhà bác học Galileo Galilei (1564 – 1642) là người đầu tiên phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian chuyển động. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) được biểu diễn gần đúng bằng công thức y = 5x². Trong một thí nghiệm vật lí, người ta thả một vật nặng từ độ cao 180 m xuống đất (coi sức cản của không khí không đáng kể).

  a) Quãng đường vật rơi sau 3 giây là: y(3) = ………………………………………

  Vậy sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất số mét là: 180 – y(3) = …………………………………………………………………………………………………………

  b) Khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì nó đã rơi được quãng đường là:………………………………………………………………………………………………………

  Tức là 5x² = …… nên x² = …….. hay x = ………

  Vậy khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì thời gian nó đã rơi là …………………………………………………………………………………………………………

  c) Khi vật chạm đất thì nó đã rơi được quãng đường là: …………………….

  Tức là 5x² = ………. nên x² = …….. hay x = ………

  Vậy khi vật nặng chạm đất thì nó đã rơi được khoảng thời gian là: ………………………………………………………………………………………………………..

  Lời giải:

  Nhà bác học Galileo Galilei (1564 – 1642) là người đầu tiên phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian chuyển động.

  Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) được biểu diễn gần đúng bằng công thức y = 5x².

  Trong một thí nghiệm vật lí, người ta thả một vật nặng từ độ cao 180 m xuống đất (coi sức cản của không khí không đáng kể).

  a) Quãng đường vật rơi sau 3 giây là: y(3) = 5.3² = 45 m

  Vậy sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất số mét là: 180 – y(3) = 180 – 45 = 135 m

  b) Khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì nó đã rơi được quãng đường là: 180 – 100 = 80 m

  Tức là 5x² = 80 nên x² = 16 hay x = 4.

  Vậy khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì thời gian nó đã rơi là 4 giây.

  c) Khi vật chạm đất thì nó đã rơi được quãng đường là: 180 m

  Tức là 5x² = 180 nên x² = 36 hay x = 6

  Vậy khi vật nặng chạm đất thì nó đã rơi được khoảng thời gian là: 6 giây.

• Câu 8 trang 46 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Pound là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác. Công thức tính khối lượng y (kg) theo x (pound) là: y = 0,45359237x

  a) Giá trị của y (kg) khi x = 100 (pound) là: y = ………………………………………………………………………………………………………

  b) Một hãng hàng không quốc tế quy định mỗi hành khách được mang hai va li không tính cước; mỗi va li cân nặng không vượt quá 23 kg. Để biết va li cân nặng 50,99 pound sau khi quy đổi sang ki – lô – gam và được phép làm tròn đến hàng đơn vị thì có vượt quá quy định hay không, ta làm như sau:

  …………………………………………………………………………………………………………

  Lời giải:

  Pound là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác.

  Công thức tính khối lượng y (kg) theo x (pound) là: y = 0,45359237x

  a) Giá trị của y (kg) khi x = 100 (pound) là: y = 0,45359237.100 = 45,359237 (kg)

  b) Một hãng hàng không quốc tế quy định mỗi hành khách được mang hai va li không tính cước; mỗi va li cân nặng không vượt quá 23 kg.

  Để biết va li cân nặng 50,99 pound sau khi quy đổi sang ki – lô – gam và được phép làm tròn đến hàng đơn vị thì có vượt quá quy định hay không, ta làm như sau:

  Giá trị của y (kg) khi x = 50,99 ( pound) là: y = 0,45359237 . 50,99 ≈ 23 kg.

  Vậy va li 50,99 pound không vượt quá quy định.