Tuyển tập những bài tập hay nhất về Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có lời giải

Tài liệu Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

– gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

– gồm 14 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

A. Phương pháp giải

1. Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

2. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (điểm này gọi là trọng tâm của tam giác).

Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua điểm đó (h.18.1).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia GB và GC lấy các điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM đồng thời là trung điểm của EN. Chứng minh rằng ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy.

Giải (h.18.2)

* Tìm cách giải.

Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy ta có thể chứng minh chúng là ba đường trung tuyến của tam giác GBC.

* Trình bày lời giải.

Gọi D là giao điểm của AG và BC. Vì G là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên AD là đường trung tuyến, suy ra $DB=DC.$

Ta có $GF=GM=\frac{1}{3}BM;GE=GN=\frac{1}{3}CN.$

Do đó $GF=FB\left(=\frac{1}{3}BM\right);GE=EC\left(=\frac{1}{3}CN\right).$

Xét $\Delta GBC$ có GD, BE, CF là ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ra ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia $B\text{x // }AC$. Lấy điểm $D\in B\text{x}$ và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ và $\Delta ADE$ có cùng một trọng tâm.

Giải (h.18.3)

* Tìm cách giải

Tam giác ABC và ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có cùng một trọng tâm, chỉ cần chứng minh chúng có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

* Trình bày lời giải.

Vì $B\text{x // }AC$ nên $\widehat{CB\text{x}}=\widehat{BCE}$ (so le trong).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có $\Delta BMD=\Delta CME$ (c.g.c).

Suy ra $MD=ME\left(1\right)$ và $\widehat{BMD}=\widehat{CME}.$

Ta có $\widehat{BME}+\widehat{CME}={180}^o$ (kề bù).

Do đó $\widehat{BME}+\widehat{BMD}={180}^o\Rightarrow$ D, M, E thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.

$\Delta ABC$ và $\Delta ADE$ chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G của hai tam giác này trùng nhau.

* Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta có thể chứng minh chúng có chung một đỉnh và chung đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho $DK=\frac{1}{3}AD.$ Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK cắt AC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của AC.

Xem thêm