Tổng hợp những bài tập về Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác có lời giải

Tài liệu Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

– gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

– gồm 15 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác (ảnh 1)

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

A. Phương pháp giải

1. Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

2. Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

3. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó và là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác (gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác) (h.20.1).

Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác (ảnh 2)

4. Trong một tam giác, đoạn vuông góc vẽ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

5. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm (h.20.2). Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

6. Bổ sung tính chất của tam giác cân

– Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy, đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

– Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, $A B < A C .$ Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho $C M = A B .$ Vẽ đường trung trực của AC, cắt đường phân giác của góc A tại điểm O. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực của BM.

Giải (h.20.3)

* Tìm cách giải.

Muốn chứng minh điểm O nằm trên đường trung trực của BM ta cần chứng minh điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM, nghĩa là phải chứng minh $O B = O M .$ Muốn vậy phải chứng minh $Δ A B O = Δ C M O .$

Dễ thấy hai tam giác này có hai cặp cạnh bằng nhau nên chỉ cần chứng minh cặp góc xen giữa bằng nhau là đủ

* Trình bày lời giải

Điểm O nằm trên đường trung trực của AC nên $O A = O C .$

Do đó $Δ O A C$ cân tại O, suy ra ${\hat{A}}_{_{2}} = \hat{O C A} .$

Mặt khác ${\hat{A}}_{2} = {\hat{A}}_{1}$ nên ${\hat{A}}_{1} = \hat{O C A} .$

$Δ A B O$ và $Δ C M O$ có: $A B = C M; {\hat{A}}_{1} = \hat{O C A}; O A = O C$ nên $Δ A B O = Δ C M O$ (c.g.c). Suy ra $O B = O M .$

Điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM nên O nằm trên đường trung trực của BM.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

Giải (h.20.4)

* Tìm cách giải.

Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Xét $Δ A B N$ có BO là đường phân giác góc B nên để chứng minh BO là đường trung trực của AN thì chỉ cần chứng minh $Δ A B N$ là tam giác cân tại B.

* Trình bày lời giải.

Ta có $\hat{B A N} + \hat{C A N} = 90 °$ (vì $\hat{B A C} = 90 °) .$ (1)

$\hat{B N A} + \hat{N A H} = 90 °$ (vì $\hat{H} = 90 °) .$ (2)

Mặt khác, $\hat{C A N} = \hat{N A H}$ nên từ (1) và (2) suy ra $\hat{B A N} = \hat{B N A}$ do đó $Δ A B N$ cân tại B.

Xét $Δ A B N$ cân tại B có BO là đường phân giác của góc B nên BO cũng là đường trung trực của cạnh AN.

Chứng minh tương tự ta được CO là đường trung trực của cạnh AM.

Xét $Δ A M N$ có O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AN và AM nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A M N$

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy