Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

A. Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1. Khoảng biến thiên

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

 

trong đó các tần số $m_1>0,m_k>0$ và $n=m_1+...+m_k$ là cỡ mẫu

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R=a_{k+1}-a_1$

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${\mathrm{\Delta }}_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu đó, tức là ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$

Ý nghĩa: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường

Sơ đồ tư duy Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

 

B. Bài tập Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. Tổng số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

B. Hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

C. Tổng số giữa hai đầu mút của nhóm bất kì có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

D. Hiệu số giữa hai đầu mút của nhóm bất kì có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Bài 2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. Hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

B. Tổng giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

C. Hiệu giữa hai tứ phân vị bất kì của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

D. Tổng giữa hai tứ phân vị bất kì của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

(Dùng cho bài 3, 4) Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Bài 3. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên?

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 100 – 0 = 100.

Bài 4. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên?

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Giả sử x₁; …; x₄₂ là thời gian tập thể dục của 42 học sinh và được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x₁₁. Mà x₁₁ thuộc nhóm [20; 40) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [20;40).

Ta có $Q_1=20+\frac{\frac{42}{4}-5}{9}.\left(40-20\right)=\frac{290}{9}$.

Tứ phân vị thứ ba là x₃₂. Mà x₃₂ thuộc nhóm [60; 80). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [60; 80).

$Q_3=60+\frac{\frac{42}{4}.3-26}{10}.\left(80-60\right)=71$.

Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{290}{9}=\frac{349}{9}$.

Bài 5. Chiều cao của hai loài hoa được một người thống kê theo biểu đồ sau:

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên về chiều cao của loài hoa A và loài hoa B. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem chiều cao của loài hoa nào biến động nhiều hơn.

Hướng dẫn giải

Từ biểu đồ, ta có bảng số liệu ghép nhóm sau:

Chiều cao	[100; 199)	[200; 299)	[300; 399)	[400; 499)
Loài A	20	18	14	10
Loài B	35	30	20	15

Xét loài A.

Cỡ mẫu là n = 20 + 18 + 14 + 10 = 62.

Giả sử x₁; …; x₆₂ là chiều cao của 62 cây hoa loài A và được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₁₆ mà x₁₆ $\in$ [100; 199).

Do đó $Q_1=100+\frac{\frac{62}{4}-0}{20}.\left(199-100\right)=176,725$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₄₇ mà x₄₇ $\in$ [300; 399).

Do đó $Q_3=300+\frac{\frac{62}{4}.3-38}{14}.\left(399-300\right)=\frac{10083}{28}$.

Vậy ${\Delta }_Q=\frac{10083}{28}-176,725\approx 183,38$.

Xét loài B.

Cỡ mẫu n = 35 + 30 + 20 + 15 = 100.

Giả sử y₁; …; y₁₀₀ là chiều cao của 100 cây hoa loài B và được sắp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{y_{25}+y_{26}}{2}$, mà y₂₅; y₂₆ $\in$ [100; 199).

Ta có $Q_1=100+\frac{\frac{100}{4}-0}{35}.\left(199-100\right)=\frac{1195}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{y_{25}+y_{26}}{2}$, mà y₇₅; y₇₆ $\in$ [300; 399).

Ta có $Q_3=300+\frac{\frac{100.3}{4}-65}{20}.\left(399-300\right)=\frac{699}{2}$.

Vậy ${\Delta }_Q=\frac{699}{2}-\frac{1195}{7}=\frac{2503}{14}$.

Chiều cao của loài A có độ phân tán nhiều hơn.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Lý thuyết Bài 6: Vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Lý thuyết Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Lý thuyết Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn