Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

A. Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số – Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại – Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số – Tìm cực trị của hàm số – Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) – Lập BBT của hàm số 3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào BBT

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

– Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

– Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó

– Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại

– Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$

– BBT:

 

3. Đồ thị:

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$

– Ta có: y = 0 $\iff$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$

– Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(1;-2\right)$

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

a) Hàm số phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

– Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$

– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$

– Hàm số không có cực trị

– Tiệm cận: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\mathrm{\infty }=1$

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

– BBT:

 

3. Đồ thị:

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$

– Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

 

b) Hàm số phân thức $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

– Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3

– Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này

– Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này

– Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

– BBT:

 

3. Đồ thị:

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

– Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$

– Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

 

Sơ đồ tư duy Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 

B. Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

A. y = x³ – 3x + 1.                                           

B. y = x³ – 3x – 1.                                    

C. y = −x³ – 3x² – 1.                                       

D. y = −x³ + 3x² + 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba: y = ax³ + bx² + cx + d (a > 0).

Do đó loại C, D.

Vì đồ thị hàm số giao với trục tung tại (0; 1) nên chọn A.

Bài 2. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên?

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

A. $y=\frac{-x-3}{x-1}$.                                                 

B. $y=\frac{x+3}{x-1}$.                                    

C. $y=\frac{-x-2}{x-1}$.                                                 

D. $y=\frac{-x+3}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −1.

Do đó loại B.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) nên y’ < 0, ∀x ≠ 1.

Đáp án A có $y^{‘}=\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$.

Đáp án C có $y^{‘}=\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$.

Đáp án D có $y^{‘}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ne 1$.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 3.

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

– Có y’ = 3x² – 6x; y’ = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 2.

– Trên khoảng (0; 2), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

– Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = −1.

– Có$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-3x^2+3\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-3x^2+3\right)=-\infty$.

– Bảng biến thiên

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

3. Đồ thị

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là (0; 3).

– Đồ thị hàm số nhận (1; 1) làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x-3}{2x-2}$.

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

– Có $y^{‘}=\frac{2\left(2x-2\right)-2\left(2x-3\right)}{{\left(2x-2\right)}^2}=\frac{2}{{\left(2x-2\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$.

– Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

– Hàm số không có cực trị.

– $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x-3}{2x-2}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x-3}{2x-2}=+\infty$.

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-3}{2x-2}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{2x-2}=1$.

Do đó y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

– Bảng biến thiên

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

3. Đồ thị

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

– Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $\left(\frac{3}{2};0\right)$.

– Đồ thị hàm số nhận giao điểm (1; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Bài 5. Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v(km/h) theo công thức $C\left(v\right)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\left(0<v\le 120\right)$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C = C(v) trên (0; 120].

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định: D = (0; 120].

2. Sự biến thiên

– Trên (0; 120], có C'(v) = $-\frac{16000}{v^2}+\frac{5}{2}$; C'(v) = 0 $\iff$ v = −80 (loại) hoặc v = 80 (nhận).

– Trên khoảng (0; 80), có C'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng (80; 120), C'(x) > 0 nên hàm số đồng biến.

– Hàm số đạt cực tiểu tại x = 80 và y_CT = 400.

– $\underset{v\to 0^{+}}{\lim }C\left(v\right)=\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\right)=+\infty$ nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

– Bảng biến thiên

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (80; 400), (40; 500), (100; 410).

– Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Lý thuyết Bài 6: Vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Lý thuyết Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ