Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên K hoặc trên $K ∖ {x_{0}}$ . Ta nói hàm số $y = f (x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in K ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$
Kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì
$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$
$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$
$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$
b, Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .
* Nhận xét:
$\begin{array}{l} a, lim_{x \to x_{0}} x^{k} = {x_{0}}^{k}, k \in Z^{+} . \\ b, lim_{x \to x_{0}} [c . f (x)] = c . lim_{x \to x_{0}} f (x) \end{array}$
( $c \in R$ , nếu tồn tại $lim_{x \to x_{0}} f (x) \in R$ )
3. Giới hạn một phía
Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ .
Ta nói $y = f (x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .
Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ .
Ta nói $y = f (x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .
*Chú ý:
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$
$lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) \neq lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x)$ thì không tồn tại $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ .
Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x \to x_{0}$ bằng $x \to {x_{0}}^{+}$ hoặc $x \to {x_{0}}^{-}$ .
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .
Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; a)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} < a$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .
* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$lim_{x \to \pm \infty} c = c,$ $lim_{x \to \pm \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0$
5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ .
Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn bên phải là $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên phải nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$
Ta nói hàm số $f (x)$ ó giới hạn bên phải là $- \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$
Các giới hạn một bên $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ , $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:

$lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty, k \in Z^{+} .$
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty,$ k là số nguyên dương chẵn.
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty,$ k là số nguyên dương lẻ.
$lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{x - a} = + \infty, lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{x - a} = - \infty (a \in R)$

Giới hạn vô cực
Nếu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L \neq 0$ và $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} g (x) = + \infty$ hoặc $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} g (x) = - \infty$ thì $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} [f (x) . g (x)]$ được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_{0}}^{+}$ thành ${x_{0}}^{-}$ (hoặc $+ \infty$ , $- \infty$ )

B. Bài tập Giới hạn của hàm số
Đang cập nhật …
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

==== ~~~~~~ ====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy