Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Thành thạo tính toán vectơ bằng tọa độ trong Oxyz: cộng trừ nhân, tích vô hướng, độ dài, góc, điều kiện vuông góc/cùng phương, ứng dụng nhận dạng hình bình hành và tứ giác đặc biệt.
Lý thuyết
1 1. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$, $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$, số thực $k$:
| Phép toán | Kết quả tọa độ |
|---|---|
| $\vec{u}+\vec{v}$ | $(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2)$ |
| $\vec{u}-\vec{v}$ | $(x_1-x_2;\ y_1-y_2;\ z_1-z_2)$ |
| $k\vec{u}$ | $(kx_1;\ ky_1;\ kz_1)$ |
| $\vec{u}\cdot\vec{v}$ (tích vô hướng) | $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ |
| $|\vec{u}|$ (độ dài) | $\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ |
2 2. Điều kiện vuông góc và cùng phương
| Quan hệ | Điều kiện tọa độ |
|---|---|
| $\vec{u}\perp\vec{v}$ | $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$ |
| $\vec{u}\parallel\vec{v}$ (cùng phương) | $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}$ (tỉ lệ) |
| Góc $(\vec{u},\vec{v})$ | $\cos\theta=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$ |
3 3. Ứng dụng: Nhận dạng tứ giác và tam giác đặc biệt
Điều kiện nhận dạng theo tọa độ
| Tứ giác $ABCD$ là... | Điều kiện |
|---|---|
| Hình bình hành | $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (hoặc trung điểm $AC$ = trung điểm $BD$) |
| Hình chữ nhật | HBH + $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ |
| Hình thoi | HBH + $|AB|=|AD|$ |
| Hình vuông | HCN + $|AB|=|AD|$ |
Tam giác đặc biệt
- Tam giác đều: $|AB|=|BC|=|CA|$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{|AB|^2}{2}$ (góc $60°$).
- Tam giác vuông tại $A$: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
- Tam giác cân tại $A$: $|AB|=|AC|$.
Các dạng bài tập
1 Phép toán vectơ theo tọa độ
- Cộng/trừ: từng tọa độ tương ứng.
- Nhân số $k$: nhân vào từng tọa độ.
- Kết hợp: $m\vec{a}+n\vec{b}$: tính riêng rồi cộng.
- Bằng nhau: đặt tọa độ bằng nhau, giải $x,y,z$.
Ví dụ minh họa
$2\vec{a}=(2;4;-6)$; $3\vec{b}=(0;-3;12)$.
$\vec{u}=(2-0;\ 4-(-3);\ -6-12)=(2;7;-18)$.
$\vec{x}=(1+2t;\ -1+3t;\ 2-t)$.
$\vec{x}\cdot\vec{b}=2(1+2t)+3(-1+3t)+(-1)(2-t)=2+4t-3+9t-2+t=14t-3=0 \Rightarrow t=\dfrac{3}{14}$.
2 Độ dài – Khoảng cách – Góc
- $|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
- $AB=|\overrightarrow{AB}|$.
- $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$; đặc biệt $\theta=90°$ khi tích $=0$.
Ví dụ minh họa
$\overrightarrow{AB}=(1;-2;2)$. $AB=\sqrt{1+4+4}=3$.
$\cos\theta=\dfrac{(1)(1)+(-2)(0)+(2)(0)}{3\cdot1}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \theta=\arccos\dfrac{1}{3}\approx70{,}5°$.
3 Nhận dạng tứ giác theo tọa độ
- Tính các vectơ cạnh: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$.
- HBH: kiểm tra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
- HCN: HBH + $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$.
- Hoặc dùng trung điểm đường chéo.
Ví dụ minh họa
HBH: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{AB}=(1;2;3)$. $\overrightarrow{DC}=(x_C-x_D;\ y_C-y_D;\ z_C-z_D)=(7-x_D;\ 7-y_D;\ 5-z_D)$.
Đặt bằng nhau: $7-x_D=1 \Rightarrow x_D=6$; $7-y_D=2 \Rightarrow y_D=5$; $5-z_D=3 \Rightarrow z_D=2$.
$D(6;5;2)$.
$\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{DC}=(2;0;0)$ → HBH.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(2;0;0)\cdot(0;3;0)=0$ → vuông góc → HCN.
$|AB|=2\neq|AD|=3$ → không phải hình vuông. Kết luận: Hình chữ nhật.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay