Bài 6. Vectơ trong không gian
Nắm vững các định nghĩa về vectơ trong không gian, các phép toán cộng trừ nhân, quy tắc hình hộp, điều kiện đồng phẳng, tích vô hướng và ứng dụng tính góc, chiếu.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu $\vec{a}$ hoặc $\overrightarrow{AB}$.
- Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=AB$.
- Cùng phương: Giá song song hoặc trùng nhau.
- Bằng nhau: Cùng hướng và cùng độ dài.
- Vectơ không: $\vec{0}$, cùng phương với mọi vectơ.
2 2. Các phép toán vectơ
Cộng và trừ
- Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
- Quy tắc hình bình hành: $ABCD$ hình bình hành → $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
- Quy tắc hình hộp: $ABCD.A'B'C'D'$ hình hộp → $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
Nhân với số thực
$|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|$; cùng hướng $\vec{a}$ khi $k>0$, ngược hướng khi $k<0$.
Với hệ $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AA'}$, mọi đỉnh và trung điểm cạnh trong hình hộp đều có thể biểu diễn theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$:
• $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$; $\overrightarrow{AB'}=\vec{a}+\vec{c}$; $\overrightarrow{AD'}=\vec{b}+\vec{c}$; $\overrightarrow{AC'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.
• Trung điểm $M$ của $CC'$: $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\tfrac{1}{2}\vec{c}$.
3 3. Điều kiện đồng phẳng
Định lý
Cho $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương. Ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực $m,n$ sao cho:
$$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$$
Phân tích theo 3 vectơ không đồng phẳng
Nếu $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng thì với mọi vectơ $\vec{d}$, tồn tại duy nhất bộ $(m,n,p)$ sao cho $\vec{d}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$.
4 4. Tích vô hướng
Định nghĩa và công thức
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})$$
| Điều kiện | Kết quả |
|---|---|
| $\vec{a}\perp\vec{b}$ | $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ |
| $\vec{a}\cdot\vec{a}$ | $|\vec{a}|^2$ |
| Tính góc | $\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ |
| Độ dài tổng | $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$ |
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Phép toán vectơ – Quy tắc hình hộp
- Dùng quy tắc 3 điểm ghép vectơ liên tiếp.
- Dùng quy tắc hình bình hành cho 2 cạnh chung gốc.
- Dùng quy tắc hình hộp: 3 cạnh chung gốc tại đỉnh = đường chéo.
- Biểu diễn vectơ trung điểm: nếu $M$ là trung điểm $CD$ thì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$.
Ví dụ minh họa
$\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}$ (do $BCC'B'$ là hình bình hành).
$\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$ (do $ADD'A'$ là hình bình hành).
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}$... Sửa: dùng quy tắc hình hộp từ $A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ → thay $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$: đúng.
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$.
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$.
$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}=\frac{1}{2}\vec{c}$.
Vậy $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.
2 Dạng 2: Phân tích vectơ – Điều kiện đồng phẳng
- Viết vectơ cần phân tích dưới dạng $\vec{d}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$.
- Giải hệ phương trình tìm $m,n,p$.
- Kiểm tra đồng phẳng: nếu tồn tại $m,n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ → đồng phẳng; nếu $p\neq0$ → không đồng phẳng.
Ví dụ minh họa
4 điểm đồng phẳng khi $\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ với $m,n\in\mathbb{R}$.
Nếu không tồn tại cặp $(m,n)$ thỏa mãn → 4 điểm tạo thành tứ diện (không đồng phẳng).
3 Dạng 3: Tích vô hướng – Tính góc và độ dài
- Xác định góc giữa hai vectơ từ hình vẽ.
- Dùng $\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ để tính góc, hoặc tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
- Tính độ dài: $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$.
Ví dụ minh họa
$\triangle ABC$ đều cạnh $a$: góc tại $A$ là $60°$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot\cos60°=\dfrac{a^2}{2}$.
$|\vec{a}+\vec{b}|^2=9+16+2\cdot3\cdot4\cdot\cos120°=25+24\cdot(-\tfrac{1}{2})=25-12=13$.
$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay