Bài 5. Ứng dụng đạo hàm vào thực tiễn
Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết các bài toán thực tiễn: tối ưu hóa hình học, chuyển động cơ học, và bài toán kinh tế (chi phí, doanh thu, lợi nhuận).
Lý thuyết
1 1. Quy trình giải bài toán tối ưu hóa
4 bước thực hiện
- Bước 1 – Chọn biến: Đặt biến số $x$ (chiều dài, bán kính, số lượng...). Xác định miền xác định: $x \in (a;b)$ hoặc $[a;b]$.
- Bước 2 – Lập hàm mục tiêu: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu (Diện tích, Thể tích, Lợi nhuận...) theo $x$ → hàm $f(x)$.
- Bước 3 – Tìm cực trị: Tính $f'(x)$, giải $f'(x)=0$, lập bảng biến thiên hoặc so sánh tại đầu mút.
- Bước 4 – Kết luận: Tính giá trị tối ưu và trả lời câu hỏi thực tế.
Nếu hàm mục tiêu có dạng $f(x)=x+\dfrac{k}{x}$ ($k>0$, $x>0$) thì áp dụng BĐT Cauchy: $x+\dfrac{k}{x}\geq2\sqrt{k}$. Dấu bằng khi $x=\sqrt{k}$. Nhanh hơn tính đạo hàm.
2 2. Ứng dụng trong chuyển động cơ học
Các công thức cơ bản
Vật chuyển động thẳng với quãng đường $s = s(t)$ ($t$ là thời gian):
| Đại lượng | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Vận tốc tức thời | $v(t)=s'(t)$ | $v>0$: chiều dương; $v<0$: chiều âm |
| Gia tốc tức thời | $a(t)=v'(t)=s''(t)$ | $a>0$: tăng tốc; $a<0$: giảm tốc |
| Vận tốc lớn nhất | Khảo sát $v(t)$ trên $[t_1;t_2]$ | GTLN của $v(t)$ |
3 3. Ứng dụng trong kinh tế
Các hàm kinh tế cơ bản
Cho $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất/bán ra ($x>0$):
- Hàm chi phí $C(x)$: Chi phí sản xuất $x$ đơn vị. Thường gồm chi phí cố định $C_0$ và chi phí biến đổi.
- Chi phí trung bình: $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
- Chi phí biên: $C'(x)$ — chi phí ước tính cho đơn vị sản phẩm thứ $x+1$.
- Hàm doanh thu: $R(x) = x\cdot p(x)$ (với $p(x)$ là hàm giá bán).
- Hàm lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x)$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tối ưu hóa hình học
- Chọn biến $x$ (cạnh, bán kính, chiều cao...), xác định điều kiện $x>0$ và các ràng buộc.
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$ (dùng công thức diện tích, thể tích, chu vi).
- Tìm GTLN/GTNN của hàm $f(x)$ trên miền xác định.
- Kiểm tra điều kiện thực tế và kết luận.
Ví dụ minh họa
Gọi cạnh song song tường là $x$, cạnh vuông góc là $y$ ($x,y>0$).
$xy=200 \Rightarrow y=\dfrac{200}{x}$.
Độ dài hàng rào: $L=x+2y=x+\dfrac{400}{x}$.
$L'=1-\dfrac{400}{x^2}=0 \Rightarrow x=20$. $L''=\dfrac{800}{x^3}>0$ → cực tiểu.
$y=\dfrac{200}{20}=10$. Kích thước: $20\,m\times10\,m$.
Đáy hộp: $(12-2x)\times(12-2x)$; cao: $x$. Điều kiện: $0 $V(x)=x(12-2x)^2=4x(6-x)^2$. $V'(x)=4(6-x)^2+4x\cdot2(6-x)(-1)=4(6-x)(6-3x)=12(6-x)(2-x)$. $V'=0 \Rightarrow x=2$ (nhận) hoặc $x=6$ (loại). $V(2)=2\cdot8^2=128\,cm^3$. $x=2\,cm$, thể tích max $=128\,cm^3$.
2 Dạng 2: Bài toán chuyển động
- Xác định hàm vị trí $s(t)$ (cho sẵn).
- Tính $v(t)=s'(t)$; $a(t)=v'(t)$.
- Tìm vận tốc lớn nhất/nhỏ nhất bằng khảo sát hàm $v(t)$ trên đoạn $[0;T]$.
- Tìm thời điểm vật dừng: giải $v(t)=0$.
Ví dụ minh họa
$v(t)=s'(t)=-3t^2+12t$.
$v'(t)=-6t+12=0 \Rightarrow t=2$.
So sánh: $v(0)=0$; $v(2)=12$; $v(6)=-36$.
Vận tốc lớn nhất là $12\,m/s$ tại $t=2\,s$.
3 Dạng 3: Bài toán kinh tế
- Xác định hàm mục tiêu: $P(x)=R(x)-C(x)$ hoặc $\bar{C}(x)$.
- Tìm cực đại của $P(x)$ hoặc cực tiểu của $\bar{C}(x)$.
- Kiểm tra điều kiện $x>0$ (và nguyên nếu cần).
- Kết luận: số sản phẩm tối ưu, mức giá tối ưu, lợi nhuận max.
Ví dụ minh họa
$\bar{C}(x)=\dfrac{x^2+20x+4000}{x}=x+20+\dfrac{4000}{x}$.
$\bar{C}'(x)=1-\dfrac{4000}{x^2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{4000}\approx63$ sản phẩm.
Hoặc dùng BĐT Cauchy: $x+\dfrac{4000}{x}\geq2\sqrt{4000}=40\sqrt{10}$, dấu bằng khi $x=\sqrt{4000}$.
Cần sản xuất khoảng $63$ sản phẩm.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay