Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải:

$f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm1 \in (-2; 2)$.

Tính: $f(-2)=-8+6+2=0$; $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$; $f(2)=8-6+2=4$.

Kết luận: $\max_{[-2;2]} f = 4$ (tại $x=-1$ và $x=2$); $\min_{[-2;2]} f = 0$ (tại $x=-2$ và $x=1$).

Giải:

$g'(x) = 2x-4 = 0 \Leftrightarrow x=2 \in (0;5)$.

$g(0)=5$; $g(2)=4-8+5=1$; $g(5)=25-20+5=10$.

Kết luận: $\min_{[0;5]} g = 1$ (tại $x=2$); $\max_{[0;5]} g = 10$ (tại $x=5$).

Giải:

$y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0 \Leftrightarrow x=1$. $y'>0$ trên $(0;1)$; $y'<0$ trên $(1;+\infty)$ → cực đại tại $x=1$.

$y(0)=0$; $y(1)=\dfrac{1}{2}$; $\lim_{x\to+\infty}y=0$. Cực đại duy nhất lớn hơn hai đầu.

Kết luận: $\max_{[0;+\infty)} y = \dfrac{1}{2}$.

Giải:

$h'(x) = 1-\dfrac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x=2$. $h'<0$ trên $(0;2)$; $h'>0$ trên $(2;+\infty)$ → cực tiểu tại $x=2$.

$\lim_{x\to0^+}h=+\infty$; $\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$. Cực tiểu duy nhất là nhỏ nhất.

Kết luận: $\min_{(0;+\infty)} h = h(2) = 2+2 = 4$.

Giải:

Gọi chiều dài là $x$ (cm, $0 < x < 20$). Chiều rộng: $20-x$.

Diện tích: $S(x) = x(20-x) = 20x-x^2$. $S'(x)=20-2x=0 \Leftrightarrow x=10$.

$S''=-2<0$ → cực đại (duy nhất) = GTLN. $S(10)=100$ cm².

Kết luận: Hình vuông cạnh $10$ cm có diện tích lớn nhất là $100$ cm².

Giải:

Diện tích 5 mặt: $x^2 + 4xh = 75 \Rightarrow h = \dfrac{75-x^2}{4x}$.

$V(x) = x^2 h = \dfrac{x(75-x^2)}{4}$. $V'=\dfrac{75-3x^2}{4}=0 \Leftrightarrow x=5$.

$h = \dfrac{75-25}{20}=\dfrac{50}{20}=2{,}5$ cm. $V_{max} = \dfrac{5(75-25)}{4} = \dfrac{250}{4} = 62{,}5$ cm³.

Kết luận: Đáy cạnh $5$ cm, cao $2{,}5$ cm, thể tích lớn nhất là $62{,}5$ cm³.