Chương 9: Đạo hàm
Bài 33. Đạo hàm cấp hai
Tiến thêm một bước vào thế giới chuyển động: Hiểu về sự thay đổi của tốc độ – gia tốc, chìa khóa để giải thích lực và các hiện tượng vật lý động lực học.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai
1 1. Định nghĩa và Ký hiệu
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$. Nếu $f'(x)$ lại có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của $f(x)$.
$f''(x) = (f'(x))'$
- Ký hiệu khác: $y''$ hoặc $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
2 2. Ý nghĩa vật lý: Gia tốc tức thời
Xét chuyển động có phương trình $s = f(t)$.
- Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$.
- Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.
Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ thay đổi của vận tốc.
3 3. Đạo hàm cấp cao (Mở rộng)
Đạo hàm cấp $n$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $n-1$: $f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]'$. (Với $n \ge 2$ là số tự nhiên).
Các dạng bài tập
1 Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
Phương pháp giải
Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$ bằng các quy tắc đã học.
Bước 2: Coi $f'(x)$ là một hàm số mới và tiếp tục lấy đạo hàm một lần nữa.
Bước 2: Coi $f'(x)$ là một hàm số mới và tiếp tục lấy đạo hàm một lần nữa.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính $y''$ của hàm số $y = x^5$.
GIẢI
$y' = 5x^4$.
$y'' = (5x^4)' = 20x^3$.
$y'' = (5x^4)' = 20x^3$.
VÍ DỤ 2
Tính $y''$ của hàm số $y = \sin x$.
GIẢI
$y' = \cos x \Rightarrow y'' = -\sin x$.
VÍ DỤ 3
Tính $y''$ của $y = e^{x^2}$.
GIẢI
$y' = 2x e^{x^2}$.
$y'' = (2x)' e^{x^2} + 2x (e^{x^2})' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2(1+2x^2)e^{x^2}$.
$y'' = (2x)' e^{x^2} + 2x (e^{x^2})' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2(1+2x^2)e^{x^2}$.
2 Ứng dụng gia tốc trong vật lý
Phương pháp giải
Đạo hàm phương trình quãng đường 2 lần để tìm biểu thức gia tốc $a(t)$. Thay giá trị $t$ vào để tính gia tốc tại thời điểm cụ thể.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Một vật chuyển động $s = t^3 - 3t^2 + 5$. Tính gia tốc tại $t=2$.
GIẢI
$v(t) = 3t^2 - 6t$.
$a(t) = 6t - 6$.
Tại $t=2 \Rightarrow a = 6(2) - 6 = 6 m/s^2$.
$a(t) = 6t - 6$.
Tại $t=2 \Rightarrow a = 6(2) - 6 = 6 m/s^2$.
VÍ DỤ 2
Xác định thời điểm gia tốc bằng 0.
GIẢI
Giải phương trình $s''(t) = 0$.
VÍ DỤ 3
Tính gia tốc khi vận tốc đạt 10 m/s.
GIẢI
Tìm $t$ từ $v(t)=10$ rồi thay vào $a(t)$.
3 Giải bài toán liên quan đạo hàm cấp hai
Phương pháp giải
Thường là giải phương trình chứa $f''(x)$ hoặc chứng minh các hệ thức giữa $f, f', f''$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Giải phương trình $f''(x) = 0$ với $f(x) = x^3 - 6x^2$.
GIẢI
$f'(x) = 3x^2 - 12x \Rightarrow f''(x) = 6x - 12$.
$6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$.
$6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$.
VÍ DỤ 2
Chứng minh $y'' + y = 0$ với $y = \cos x$.
GIẢI
$y' = -\sin x, y'' = -\cos x$. Thay vào: $-\cos x + \cos x = 0$ (Đúng).
VÍ DỤ 3
Tìm $x$ để $f''(x) > 0$.
GIẢI
Giải bất phương trình sau khi tính xong $f''(x)$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay