Chương 9: Đạo hàm
Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bước vào thế giới của toán học biến thiên: Tìm hiểu cách đo lường tốc độ thay đổi tức thời của mọi sự vật, từ chuyển động của xe cộ đến độ dốc của các đường cong đồ thị.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Đạo hàm
1 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$ và $x_0 \in (a, b)$.
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
- Đạo hàm của hàm số trên một khoảng: Nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
2 2. Ý nghĩa hình học (Hệ số góc của tiếp tuyến)
Đạo hàm $f'(x_0)$ là hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0; f(x_0))$.
Phương trình tiếp tuyến:
$y - y_0 = f'(x_0) \cdot (x - x_0)$
3 3. Ý nghĩa vật lý
- Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$ (Đạo hàm của quãng đường theo thời gian).
- Cường độ dòng điện tức thời: $i(t) = q'(t)$ (Đạo hàm của điện lượng theo thời gian).
Các dạng bài tập
1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp giải
Bước 1: Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Bước 2: Thiết lập tỉ số $\Delta y / \Delta x$.
Bước 3: Tìm giới hạn của tỉ số khi $\Delta x \to 0$.
Bước 2: Thiết lập tỉ số $\Delta y / \Delta x$.
Bước 3: Tìm giới hạn của tỉ số khi $\Delta x \to 0$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.
GIẢI
$\Delta y = (1+\Delta x)^2 - 1^2 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$.
$\Delta y / \Delta x = 2 + \Delta x$.
Khi $\Delta x \to 0$, giới hạn bằng 2. Vậy $f'(1) = 2$.
$\Delta y / \Delta x = 2 + \Delta x$.
Khi $\Delta x \to 0$, giới hạn bằng 2. Vậy $f'(1) = 2$.
VÍ DỤ 2
Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm hằng.
GIẢI
$\Delta y = C - C = 0 \Rightarrow f'(x) = 0$.
VÍ DỤ 3
Đạo hàm của $\sin x$ tại $x=0$.
GIẢI
$\lim_{x \to 0} (\sin x / x) = 1$.
2 Viết phương trình tiếp tuyến
Phương pháp giải
Xác định 3 yếu tố: $x_0$ (hoành độ), $y_0 = f(x_0)$ (tung độ), $k = f'(x_0)$ (hệ số góc). Thay vào công thức $y = k(x-x_0) + y_0$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Viết PTTT của $y = x^3$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
GIẢI
$y_0 = 1^3 = 1$.
Đạo hàm $y' = 3x^2 \Rightarrow k = 3(1)^2 = 3$.
PTTT: $y = 3(x-1) + 1 = 3x - 2$.
Đạo hàm $y' = 3x^2 \Rightarrow k = 3(1)^2 = 3$.
PTTT: $y = 3(x-1) + 1 = 3x - 2$.
VÍ DỤ 2
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại gốc tọa độ.
GIẢI
Tính $f'(0)$.
VÍ DỤ 3
Viết PTTT song song với đường thẳng cho trước.
GIẢI
Giải phương trình $f'(x_0) = k_{cho trước}$ để tìm $x_0$.
3 Ứng dụng vật lý của đạo hàm
Phương pháp giải
Thay thời điểm $t$ vào biểu thức đạo hàm của phương trình chuyển động hoặc điện lượng.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Một vật rơi tự do $s(t) = 4,9t^2$. Tính vận tốc tại $t=2s$.
GIẢI
$v(t) = s'(t) = 9,8t$. Tại $t=2 \Rightarrow v(2) = 19,6 m/s$.
VÍ DỤ 2
Tính vận tốc tại thời điểm vật dừng lại.
GIẢI
Giải $s'(t) = 0$ tìm $t$.
VÍ DỤ 3
Cường độ dòng điện tức thời.
GIẢI
Đạo hàm hàm $q(t)$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay