Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Bài 14. Phép chiếu song song
Tìm hiểu cách biểu diễn các vật thể ba chiều lên mặt phẳng bằng phép chiếu song song, từ đó nắm vững các quy tắc vẽ hình trong hình học không gian.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết phép chiếu song song
1 1. Khái niệm phép chiếu song song
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và một đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ theo phương chiếu $\Delta$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $MM' // \Delta$ và $M' \in (\alpha)$.
- $(\alpha)$: Mặt phẳng chiếu.
- $\Delta$: Phương chiếu.
- $M'$: Hình chiếu của $M$.
2 2. Các tính chất quan trọng
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng.
3 3. Hình biểu diễn của một hình phẳng
- Hình tam giác: Hình biểu diễn là một tam giác bất kỳ.
- Hình bình hành: Phải là hình bình hành (hoặc hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều biểu diễn bằng hình bình hành).
- Hình thang: Phải là hình thang giữ nguyên tỉ số hai đáy.
- Đường tròn: Hình biểu diễn là một đường Elíp.
Các dạng bài tập
1 Tính chất của phép chiếu song song
Phương pháp giải
Áp dụng các tính chất bảo toàn (song song, thẳng hàng, tỉ số) để trả lời các câu hỏi lý thuyết.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình gì?
GIẢI
Biến hình vuông thành hình bình hành bất kỳ (do bảo toàn tính song song của các cặp cạnh đối).
VÍ DỤ 2
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song không?
GIẢI
Không. Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.
VÍ DỤ 3
Tại sao phép chiếu song song không bảo toàn độ dài đoạn thẳng?
GIẢI
Vì độ dài hình chiếu phụ thuộc vào góc nghiêng của đoạn thẳng đó so với mặt phẳng chiếu.
2 Nhận biết hình biểu diễn của hình phẳng
Phương pháp giải
Kiểm tra xem hình vẽ có thỏa mãn các quan hệ song song và tỉ lệ đoạn thẳng song song hay không.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
GIẢI
Cần đảm bảo các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau trong hình biểu diễn.
VÍ DỤ 2
Hình biểu diễn của một tam giác đều có cần là tam giác đều không?
GIẢI
Không, chỉ cần là một tam giác bất kỳ.
VÍ DỤ 3
Xác định tâm của một đường Elíp là hình biểu diễn của đường tròn.
GIẢI
Tâm của Elíp chính là hình chiếu của tâm đường tròn ban đầu.
3 Tính tỉ số đoạn thẳng qua hình chiếu
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất bảo toàn tỉ số đoạn thẳng nằm trên các đường song song.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho $M$ là trung điểm $AB$. Hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $M'$, hình chiếu của $AB$ là $A'B'$. Chứng minh $M'$ là trung điểm $A'B'$.
GIẢI
Do $AM/MB = 1$ nên theo tính chất bảo toàn tỉ số, $A'M'/M'B' = 1 \Rightarrow M'$ là trung điểm $A'B'$.
VÍ DỤ 2
Đoạn thẳng $AB = 6cm$ song song mặt phẳng chiếu. Tính độ dài hình chiếu $A'B'$.
GIẢI
Khi đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu, độ dài hình chiếu bằng chính nó ($A'B' = 6cm$).
VÍ DỤ 3
Hình chiếu của trọng tâm tam giác.
GIẢI
Chính là trọng tâm của tam giác hình chiếu.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay