Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Nghiên cứu về điều kiện để một đường thẳng không cắt một mặt phẳng và các hệ quả quan trọng trong việc xây dựng hình học không gian.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết quan hệ song song giữa ĐT và MP
1 1. Vị trí tương đối của Đường thẳng và Mặt phẳng
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$:
- $d \subset (\alpha)$: Có vô số điểm chung (ĐT nằm trong MP).
- $d$ cắt $(\alpha)$: Có duy nhất 1 điểm chung.
- $d // (\alpha)$: Không có điểm chung nào.
2 2. Dấu hiệu nhận biết
Định lý 1: Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(\alpha)$ và song song với một đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d // (\alpha)$.
$d \not\subset (\alpha), d // a, a \subset (\alpha) \Rightarrow d // (\alpha)$
3 3. Tính chất quan trọng
- Định lý 2: Nếu đường thẳng $d // (\alpha)$ thì mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $d$ và cắt $(\alpha)$ sẽ cắt theo giao tuyến $a // d$.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Các dạng bài tập
1 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
Phương pháp giải
Bước 1: Chọn một đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha)$.
Bước 2: Chứng minh $d // a$ (dùng trung bình, Ta-lét...).
Bước 3: Kết luận theo định lý.
Bước 2: Chứng minh $d // a$ (dùng trung bình, Ta-lét...).
Bước 3: Kết luận theo định lý.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Chứng minh $OM // (SAB)$ với $O$ là tâm đáy.
GIẢI
$O$ là trung điểm $AC, M$ là trung điểm $SC \Rightarrow OM$ là đường trung bình $\triangle SAC \Rightarrow OM // SA$. Mà $SA \subset (SAB) \Rightarrow OM // (SAB)$.
VÍ DỤ 2
Chứng minh $BC // (SAD)$ trong hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành.
GIẢI
Ta có $BC // AD$ (tính chất hbh). Mà $AD \subset (SAD)$ nên $BC // (SAD)$.
VÍ DỤ 3
Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng.
GIẢI
Nó song song với một đường thẳng nào đó thuộc mặt phẳng và chính nó không nằm trong mặt phẳng đó.
2 Dựng thiết diện song song với đường thẳng
Phương pháp giải
Dùng tính chất: Nếu $(\alpha) // d$ thì mọi mặt phẳng chứa $d$ cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến song song với $d$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ qua $M \in AB$ và $(P) // BC, (P) // AD$.
GIẢI
Thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ có các cạnh lần lượt song song với $BC$ và $AD$.
VÍ DỤ 2
Cho hình chóp $S.ABCD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $M$ trên $SA$ và song song với $BC$.
GIẢI
Vẽ đường thẳng $Mx // BC$. $Mx$ cắt $SD$ tại $N$. Thiết diện là hình thang nếu đáy $ABCD$ là hình thang.
VÍ DỤ 3
Khi nào thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một cạnh đáy là một tam giác?
GIẢI
Khi mặt phẳng đó cắt tất cả các mặt bên chung đỉnh và đi qua các cạnh bên.
3 Sử dụng tính chất để tìm giao tuyến
Phương pháp giải
Tìm điểm chung của hai mặt phẳng và áp dụng định lý giao tuyến song song.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho $d // (P)$. Tìm giao tuyến của $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$.
GIẢI
Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung của $(P), (Q)$ và song song với $d$.
VÍ DỤ 2
Tìm giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$ biết $M$ là trung điểm $SA$ và đáy $ABCD$ là hình bình hành.
GIẢI
Điểm chung là $M$. $BC // AD$ nên giao tuyến qua $M$ và song song $BC$.
VÍ DỤ 3
Nếu $a // (\alpha)$ và $b // (\alpha)$, khi nào $a // b$?
GIẢI
Không nhất thiết $a // b$ (chúng có thể cắt hoặc chéo nhau).
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay