Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Bài 11. Hai đường thẳng song song
Tìm hiểu các vị trí tương đối đặc trưng của hai đường thẳng trong không gian, đặc biệt là quan hệ song song và phương pháp xác định giao tuyến song song.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết hai đường thẳng song song
1 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian:
- Cắt nhau: Có duy nhất 1 điểm chung (đồng phẳng).
- Song song: Không có điểm chung và đồng phẳng.
- Trùng nhau: Mọi điểm đều là điểm chung.
- Chéo nhau: Không có điểm chung và KHÔNG đồng phẳng.
2 2. Tính chất hai đường thẳng song song
- Định lý: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Tính chất bắc cầu: $a // b$ và $b // c \Rightarrow a // c$.
- Định lý về giao tuyến (Hình thang): Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
3 3. Một số định lý quan trọng khác
Định lý 3 giao tuyến: Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc đồng quy, hoặc song song với nhau.
Các dạng bài tập
1 Xác định vị trí tương đối
Phương pháp giải
Xét xem hai đường có cùng thuộc một mặt phẳng hay không, sau đó xét số điểm chung.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Trong hình chóp $S.ABCD$ (đáy là hình bình hành), $AB$ và $CD$ có quan hệ gì?
GIẢI
Chúng cùng thuộc mặt phẳng đáy và không có điểm chung, do đó $AB // CD$.
VÍ DỤ 2
Cặp đường thẳng $SA$ và $BC$ trong hình chóp $S.ABCD$ có vị trí gì?
GIẢI
Chúng không cùng thuộc một mặt phẳng, vậy $SA$ và $BC$ chéo nhau.
VÍ DỤ 3
Thế nào là hai đường thẳng chéo nhau?
GIẢI
Hai đường không cùng nằm trên bất kỳ mặt phẳng nào.
2 Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải
Dùng tính chất đường trung bình, Ta-lét, hoặc chứng minh cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm $AB, AC$. Chứng minh $MN // BC$.
GIẢI
$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN // BC$.
VÍ DỤ 2
Chứng minh $AB // CD$ trong hình chóp $S.ABCD$ nếu mặt bên là các tam giác bằng nhau.
GIẢI
Sử dụng tính chất tỉ số đoạn thẳng hoặc các yếu tố hình học phẳng trên các mặt.
VÍ DỤ 3
Dùng tính chất bắc cầu: $a // b$ và $b // c$.
GIẢI
Nếu $a // b$ và $b // c$ thì $a // c$.
3 Tìm giao tuyến dạng song song
Phương pháp giải
Dùng định lý: Nếu $(\alpha) \supset a, (\beta) \supset b$ mà $a // b$ thì giao tuyến $d // a // b$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ nếu $AB // CD$.
GIẢI
Giao tuyến đi qua $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$).
VÍ DỤ 2
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua trung điểm $M$ của $SA$ và song song $AB, AD$.
GIẢI
Mặt phẳng $(P)$ cắt các mặt bên theo các đường trung bình song song với cạnh đáy.
VÍ DỤ 3
Giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $a$ và mặt phẳng chứa đường thẳng $b$ (với $a//b$).
GIẢI
Luôn là một đường thẳng song song với $a$ và $b$ nếu hai mặt phẳng đó cắt nhau.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay