Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
Nghiên cứu quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng, nắm vững cách xác định góc 'mở' giữa hai diện và các cấu trúc đa diện đứng.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc
1 1. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Cách xác định (Góc phẳng nhị diện): Để tìm góc giữa $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$:
- Lấy điểm $I$ bất kỳ trên $c$.
- Vẽ $a \subset (P), a \perp c$ tại $I$.
- Vẽ $b \subset (Q), b \perp c$ tại $I$.
- Góc giữa $(P)$ và $(Q)$ là góc giữa $a$ và $b$.
2 2. Hai mặt phẳng vuông góc (Định lý then chốt)
- Định nghĩa: Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
- Dấu hiệu: Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa một đường thẳng $d$ mà $d \perp (P)$ thì $(Q) \perp (P)$.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
3 3. Hình lăng trụ đứng và Hình chóp đều
- Lăng trụ đứng: Có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với đáy.
- Chóp đều: Đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đáy. Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
Các dạng bài tập
1 Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp giải
Tìm giao tuyến $\rightarrow$ Kẻ hai đường thẳng cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm $\rightarrow$ Tính góc giữa hai đường đó bằng định lý cosin.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, đáy tam giác vuông tại $A$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$.
GIẢI
Giao tuyến là $BC$. Kẻ $AH \perp BC$ ($H \in BC$). Theo định lý 3 đường vuông góc, $SH \perp BC$.
Vậy góc là $\widehat{SHA}$.
Vậy góc là $\widehat{SHA}$.
VÍ DỤ 2
Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều.
GIẢI
Góc tạo bởi trung đoạn của mặt bên và hình chiếu của nó trên mặt đáy.
VÍ DỤ 3
Góc giữa hai mặt bên kề nhau của hình lập phương.
GIẢI
$90^\circ$.
2 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp giải
Chứng minh mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt kia.
Hoặc chứng minh góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Hoặc chứng minh góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho $SA \perp (ABC)$. Chứng minh $(SAB) \perp (ABC)$.
GIẢI
Vì $SA \perp (ABC)$ mà $SA \subset (SAB)$ nên $(SAB) \perp (ABC)$.
VÍ DỤ 2
Trong hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông, $SA \perp đáy$. Chứng minh $(SBC) \perp (SAB)$.
GIẢI
Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)$.
Mà $BC \subset (SBC)$ nên $(SBC) \perp (SAB)$.
Mà $BC \subset (SBC)$ nên $(SBC) \perp (SAB)$.
VÍ DỤ 3
Chứng minh mặt phẳng chứa đường cao vuông góc với đáy.
GIẢI
Dựa vào định nghĩa đường cao $h \perp đáy$.
3 Tính chất lăng trụ đứng và chóp đều
Phương pháp giải
Vận dụng tính chất các mặt bên vuông góc với đáy để tính các yếu tố hình học.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính diện tích xung quanh hăng trụ đứng tam giác đều cạnh $a$ chiều cao $h$.
GIẢI
$S_{xq} = 3ah$.
VÍ DỤ 2
Xác định tâm của hình chóp tứ giác đều.
GIẢI
Là giao điểm hai đường chéo của đáy hình vuông.
VÍ DỤ 3
Góc giữa mặt bên và đáy của tứ diện đều.
GIẢI
$\cos \alpha = 1/3$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngayCác bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
22
Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
🟡 90p
23
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
🟡 90p
24
Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
🟡 90p
25
Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
🟡 90p
26
Bài 26. Khoảng cách
🔴 90p
27
Bài 27. Thể tích
🟡 90p
27.5
Bài tập cuối chương VII
🔴 120p