Bài 16: Hàm số bậc hai

Định nghĩa

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng:

$$y = f(x) = ax^2 + bx + c$$

trong đó $a, b, c$ là các số thực cho trước và $a \neq 0$.

Ví dụ

• $y = x^2$ (với $a = 1, b = 0, c = 0$)
• $y = -2x^2 + 3x - 1$ (với $a = -2, b = 3, c = -1$)
• $y = 3x^2 - 5$ (với $a = 3, b = 0, c = -5$)

Tập xác định

Hàm số bậc hai có tập xác định $D = \mathbb{R}$ (xác định với mọi số thực).

Đồ thị

Đồ thị của hàm số $y = ax^2 + bx + c$ là một đường cong gọi là parabol $(P)$.

Tính chất của parabol

• Parabol có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$
• Parabol có đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$ với $\Delta = b^2 - 4ac$
• Nếu $a > 0$: parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là điểm thấp nhất
• Nếu $a < 0$: parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh là điểm cao nhất

Giao điểm với các trục

• Giao với trục $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = c$. Giao điểm: $(0; c)$
• Giao với trục $Ox$: Giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$
  • Nếu $\Delta > 0$: 2 giao điểm phân biệt
  • Nếu $\Delta = 0$: 1 giao điểm (tiếp xúc trục $Ox$)
  • Nếu $\Delta < 0$: Không có giao điểm

Trục đối xứng

Parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có trục đối xứng là đường thẳng:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Tọa độ đỉnh

Đỉnh $I$ của parabol có tọa độ:

$$I\left(x_I; y_I\right) = I\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

Hoặc sử dụng công thức:

$$I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$$

với $\Delta = b^2 - 4ac$

Ý nghĩa

• Nếu $a > 0$: $y_I$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt tại $x = -\frac{b}{2a}$
• Nếu $a < 0$: $y_I$ là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt tại $x = -\frac{b}{2a}$

Trường hợp $a > 0$ (parabol bề lõm hướng lên)

• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)$
• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)$
• Giá trị nhỏ nhất: $y_{\min} = -\frac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\frac{b}{2a}$
• Tập giá trị: $T = \left[-\frac{\Delta}{4a}; +\infty\right)$

Trường hợp $a < 0$ (parabol bề lõm hướng xuống)

• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)$
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)$
• Giá trị lớn nhất: $y_{\max} = -\frac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\frac{b}{2a}$
• Tập giá trị: $T = \left(-\infty; -\frac{\Delta}{4a}\right]$

Các bước vẽ parabol $y = ax^2 + bx + c$

1. Tìm tọa độ đỉnh: $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$
2. Tìm trục đối xứng: $x = -\frac{b}{2a}$
3. Tìm giao điểm với trục tọa độ:
   • Giao với $Oy$: $(0; c)$
   • Giao với $Ox$: Giải $ax^2 + bx + c = 0$ (nếu có)
4. Lập bảng giá trị: Chọn thêm vài điểm đối xứng qua trục
5. Vẽ đồ thị:
   • Đánh dấu các điểm đã tìm được
   • Vẽ đường cong parabol qua các điểm, đối xứng qua trục
   • Chú ý hướng bề lõm (lên nếu $a > 0$, xuống nếu $a < 0$)

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Nhiều bài toán thực tế dẫn đến việc tìm GTLN hoặc GTNN của hàm bậc hai:

• Tìm lợi nhuận lớn nhất trong kinh doanh
• Tìm diện tích lớn nhất với chu vi cho trước
• Tối ưu hóa thiết kế, kiến trúc

Quỹ đạo vật thể

Chuyển động của vật bị ném (như quả bóng) theo quỹ đạo parabol:

$$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$$

trong đó:

• $g$: gia tốc trọng trường ($\approx 10$ m/s²)
• $v_0$: vận tốc ban đầu
• $h_0$: độ cao ban đầu
• $t$: thời gian

Kiến trúc - Cầu, mái vòm

Nhiều công trình kiến trúc có hình dạng parabol:

• Cầu treo (dây cáp hình parabol)
• Mái vòm nhà thờ, sân vận động
• Ăng-ten parabol, gương parabol