Bài 15: Hàm số và đồ thị

Định nghĩa

Cho hai tập hợp khác rỗng $D$ và $\mathbb{R}$. Hàm số $f$ xác định trên $D$ là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D$ với một và chỉ một số $y \in \mathbb{R}$.

Ký hiệu: $f: D \to \mathbb{R}$ hoặc $y = f(x)$

• $x$ gọi là biến số (hay đối số)
• $y$ gọi là giá trị của hàm số tại $x$
• $D$ gọi là tập xác định của hàm số

Ví dụ

• $y = 2x + 1$ là hàm số với mọi $x \in \mathbb{R}$
• $y = \frac{1}{x}$ là hàm số với $x \neq 0$
• $y = \sqrt{x}$ là hàm số với $x \geq 0$

Chú ý

Một hàm số có thể được cho bởi:

• Công thức: $y = f(x) = x^2 + 1$
• Bảng giá trị
• Đồ thị
• Lời diễn đạt (mô tả bằng lời)

Định nghĩa

Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $f(x)$ có nghĩa.

Ký hiệu: $D$ hoặc $D_f$

Các trường hợp cơ bản

Ví dụ

• $y = x^2 + 2x - 1$: $D = \mathbb{R}$
• $y = \frac{x+1}{x-2}$: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
• $y = \sqrt{4-x}$: $D = \{x \in \mathbb{R} | x \leq 4\} = (-\infty; 4]$
• $y = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$: $D = \{x \in \mathbb{R} | x > -3\} = (-3; +\infty)$

Định nghĩa

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; f(x))$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với $x \in D$.

$$\text{Đồ thị: } \{M(x; y) | x \in D, y = f(x)\}$$

Cách vẽ đồ thị

1. Lập bảng giá trị (chọn một số giá trị $x$ thuộc $D$)
2. Tính các giá trị tương ứng $y = f(x)$
3. Biểu diễn các điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ
4. Nối các điểm lại thành đường cong (nếu hàm liên tục)

Đồ thị một số hàm số cơ bản

• $y = ax + b$ $(a \neq 0)$: Đường thẳng
• $y = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$: Parabol
• $y = \frac{a}{x}$ $(a \neq 0)$: Hypebol
• $y = |x|$: Hình chữ V

Hàm số đồng biến

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $(a; b)$ nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

Ý nghĩa: Khi $x$ tăng thì $f(x)$ cũng tăng.

Hàm số nghịch biến

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a; b)$ nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

Ý nghĩa: Khi $x$ tăng thì $f(x)$ giảm.

Nhận xét từ đồ thị

• Hàm đồng biến: đồ thị đi lên từ trái sang phải
• Hàm nghịch biến: đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Ví dụ

• $y = 2x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
• $y = -x + 3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
• $y = x^2$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$

Định nghĩa

Tập giá trị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các giá trị $y$ mà hàm số nhận được khi $x$ chạy khắp tập xác định $D$.

Ký hiệu: $T$ hoặc $T_f$

$$T = \{y \in \mathbb{R} | \exists x \in D: y = f(x)\}$$

Cách tìm tập giá trị

1. Phương pháp đại số: biến đổi $y = f(x)$ thành biểu thức của $y$
2. Sử dụng bất đẳng thức (Cauchy, AM-GM,...)
3. Dựa vào đồ thị hàm số
4. Xét sự biến thiên của hàm số

Ví dụ

• $y = 2x + 1$, $D = \mathbb{R}$: $T = \mathbb{R}$
• $y = x^2$, $D = \mathbb{R}$: $T = [0; +\infty)$
• $y = \frac{1}{x}$, $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$: $T = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
• $y = |x|$, $D = \mathbb{R}$: $T = [0; +\infty)$

Tập đối xứng

Tập hợp $D$ được gọi là đối xứng qua gốc tọa độ nếu:

$$\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$$

Hàm số chẵn

Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ được gọi là hàm số chẵn nếu:

1. $D$ đối xứng qua gốc tọa độ
2. $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$

Tính chất đồ thị: Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục $Oy$

Hàm số lẻ

Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ được gọi là hàm số lẻ nếu:

1. $D$ đối xứng qua gốc tọa độ
2. $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$

Tính chất đồ thị: Đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ $O$

Ví dụ

• $y = x^2$: hàm chẵn vì $(-x)^2 = x^2$
• $y = x^3$: hàm lẻ vì $(-x)^3 = -x^3$
• $y = |x|$: hàm chẵn
• $y = 2x + 1$: không chẵn, không lẻ