Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Định nghĩa

Hệ trục tọa độ Oxy (hệ trục tọa độ Descartes vuông góc) gồm hai trục số $Ox$ và $Oy$ vuông góc với nhau tại gốc $O$.

• $Ox$ gọi là trục hoành, $\vec{i}$ là vectơ đơn vị trên $Ox$.
• $Oy$ gọi là trục tung, $\vec{j}$ là vectơ đơn vị trên $Oy$.
• $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ và $\vec{i} \perp \vec{j}$.

Với mỗi vectơ $\vec{a}$, tồn tại duy nhất cặp số $(x; y)$ sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Cặp số $(x; y)$ đó được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$, kí hiệu là $\vec{a} = (x; y)$.

Tính chất

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

• $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x_1 = x_2$ và $y_1 = y_2$.
• $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2)$.
• $k\vec{a} = (kx_1; ky_1)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tọa độ của điểm $M$ là tọa độ của vectơ $\vec{OM}$.

Nếu $\vec{OM} = (x; y)$ thì $M = (x; y)$.

Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Cho $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Khi đó $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

• Độ dài |$\vec{a}$| = $\sqrt{x^2 + y^2}$.
• Khoảng cách $AB$ = $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Toạ độ trung điểm và trọng tâm

• Trung điểm $I$ của $AB$: $x_I = \frac{x_A+x_B}{2}, y_I = \frac{y_A+y_B}{2}$.
• Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$: $x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ không, $\alpha$ là góc giữa chúng. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là số, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được xác định:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$

Quy ước: $\vec{a} \cdot \vec{0} = 0$

Tính chất

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (tính giao hoán)
2. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (tính phân phối)
3. $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ hay $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

Công thức tọa độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

Điều kiện vuông góc

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (khác $\vec{0}$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

Góc giữa hai vectơ

$$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Vectơ chỉ phương: $\vec{u} = (a; b) \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $d$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (A; B) \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ nếu $\vec{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của $d$.

Chú ý: Nếu $\vec{u} = (a; b)$ là vectơ chỉ phương thì $\vec{n} = (-b; a)$ hoặc $\vec{n} = (b; -a)$ là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B)$ có phương trình:

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$$

Hoặc dạng tổng quát: $Ax + By + C = 0$ (với $A^2 + B^2 \neq 0$)

Phương trình tham số

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ có phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ có phương trình:

$$\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A}$$

(với $x_A \neq x_B$ và $y_A \neq y_B$)