Bài 9: Tích của một số với một vectơ
Tìm hiểu về phép nhân vectơ với một số, tính chất của phép toán và ứng dụng trong việc chứng minh ba điểm thẳng hàng, biểu diễn vectơ.
Lý thuyết trọng tâm
1 1. Định nghĩa
Cho một số thực $k \neq 0$ và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Tích của số $k$ với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, được xác định như sau:
- Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
- Có độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$.
Quy ước: $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.
2 2. Tính chất
Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực $h, k$, ta có:
- $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
- $(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$
- $h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}$
- $1\vec{a} = \vec{a}; (-1)\vec{a} = -\vec{a}$
3 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Vectơ $\vec{b}$ cùng phương với vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi có số thực $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$.
Ứng dụng: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực $k \neq 0$ sao cho $\vec{AB} = k\vec{AC}$.
4 4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$. Với mọi vectơ $\vec{x}$, luôn tồn tại duy nhất cặp số thực $m, n$ sao cho: $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Xác định vectơ $k\vec{a}$ và các đẳng thức vectơ
Phương pháp giải
- Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép nhân vectơ với một số.
- Sử dụng tính chất trung điểm: $M$ là trung điểm $AB \Leftrightarrow \vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
- Sử dụng tính chất trọng tâm: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
Ví dụ minh họa
Theo tính chất trọng tâm, ta có $AG = \frac{2}{3}AM$ và $\vec{AG}, \vec{AM}$ cùng hướng.
Do đó $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM} \Rightarrow \vec{AM} = \frac{3}{2}\vec{AG}$.
2 Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải
- Tìm số $k$ sao cho $\vec{AB} = k\vec{AC}$.
- Tìm số $k$ sao cho $\vec{MA} = k\vec{MB}$ với $M$ là điểm chung.
Ví dụ minh họa
Dựa vào giả thiết $\vec{BM} = \vec{AC}$, ta có $BM // AC$ và $BM = AC$.
Tứ giác $ACMB$ là hình bình hành. Vậy $M$ không thuộc đường thẳng $AB$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay