Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ không.

Từ một điểm $O$ bất kỳ, vẽ $\vec{OA} = \vec{a}$ và $\vec{OB} = \vec{b}$.

Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc $\angle AOB$, ký hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$.

Tính chất

• $0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180°$
• $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$
• Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 0°$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng
• Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 180°$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng
• Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc, ký hiệu $\vec{a} \perp \vec{b}$

Quy ước

Góc giữa vectơ không và vectơ bất kỳ có thể lấy giá trị tùy ý từ $0°$ đến $180°$.

Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ không. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được định nghĩa bởi:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Quy ước: Nếu một trong hai vectơ là vectơ không thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Ý nghĩa hình học

Nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$ thì:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{pr}_{\vec{a}}\vec{b}$$

trong đó $\text{pr}_{\vec{a}}\vec{b}$ là hình chiếu của $\vec{b}$ lên phương của $\vec{a}$

$$\text{pr}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Các trường hợp đặc biệt

• Nếu $\vec{a} = \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
• Nếu $\vec{a} \perp \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Nếu $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Nếu $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Các tính chất cơ bản

Với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là các vectơ bất kỳ và $k \in \mathbb{R}$:

1. Tính giao hoán:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$

2. Tính phân phối:

$$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$$

$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$$

3. Tích với số:

$$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$$

4. Bình phương vô hướng:

$$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$

Do đó: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$

Hệ quả

• $(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2$
• $(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2$
• $(\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^2 - \vec{b}^2$

Công thức tọa độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ trong hệ tọa độ $Oxy$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

Độ dài vectơ theo tọa độ

$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$

Khoảng cách giữa hai điểm

Cho $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Điều kiện vuông góc

Hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ (khác $\vec{0}$) vuông góc khi và chỉ khi:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ

Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Trong hệ tọa độ:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

Ứng dụng trong tam giác

1. Tính góc trong tam giác:

Cho tam giác $ABC$, góc $\angle BAC$ được tính:

$$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$$

2. Chứng minh vuông góc:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\Leftrightarrow$ $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

3. Định lý cosin:

Trong tam giác $ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$

Chứng minh: $|\vec{BC}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AB}|^2 = \vec{AC}^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB}^2$

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta: Ax + By + C = 0$ và điểm $M_0(x_0; y_0)$.

Khoảng cách từ $M_0$ đến $\Delta$ là:

$$d(M_0, \Delta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Cho hai đường thẳng song song:

• $\Delta_1: Ax + By + C_1 = 0$
• $\Delta_2: Ax + By + C_2 = 0$

Khoảng cách giữa chúng:

$$d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Đường phân giác trong tam giác

Sử dụng tích vô hướng và vectơ đơn vị để xác định phương trình đường phân giác góc trong tam giác.

Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Sử dụng công thức diện tích tam giác và các hệ thức lượng để tính bán kính.