Giải SGK Toán 7 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 8 trang 84

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84

Bài 1 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A ( $\hat{A} < 90 °$ ). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng $Δ B E C = Δ C F B$ .

b) Chứng minh rằng $Δ A H F = Δ A H E$ .

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ ). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ và AB = AC.

Xét $Δ B E C$ vuông tại E và $Δ C F B$ vuông tại F có:

$\hat{E C B} = \hat{F B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $Δ B E C = Δ C F B$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Do $Δ B E C = Δ C F B$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng).

Mà AB = AC nên AB – FB = AC – EC hay AF = AE.

Xét $Δ A H F$ vuông tại F và $Δ A H E$ vuông tại E có:

AF = AE (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó $Δ A H F = Δ A H E$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của $△$ ABC.

Suy ra AH $⊥$ BC (1).

Xét $△$ AIB và $△$ AIC có:

AB = AC (chứng minh trên).

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

AI chung.

Suy ra $△$ AIB = $△$ AIC (c.c.c).

Do đó $\hat{A I B} = \hat{A I C}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\hat{A I B} + \hat{A I C} = 180 °$ nên $\hat{A I B} + \hat{A I B} = 180 °$ hay $2 \hat{A I B} = 180 °$ .

Suy ra $\hat{A I B} = \hat{A I C} = 90 °$ .

Do đó AI $⊥$ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng $Δ A B C = Δ M B C$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH

a) Xét $Δ A H B$ vuông tại H và $Δ M H B$ vuông tại H có:

AH = MH (theo giả thiết).

BH chung.

Do đó $Δ A H B = Δ M H B$ (2 cạnh góc vuông).

Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B.

b) Do $Δ A H B = Δ M H B$ (2 cạnh góc vuông) nên $\hat{A B H} = \hat{M B H}$ (2 góc tương ứng).

Xét $Δ A B C$ và $Δ M B C$ có:

AB = MB (chứng minh trên).

$\hat{A B C} = \hat{M B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $Δ A B C = Δ M B C$ (c – g – c).

Bài 3 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Chứng minh rằng $\hat{A D B} = \hat{B A H}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH

a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.

AH $⊥$ CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.

Do đó AC = AD.

b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.

Do đó $\hat{A D B} = \hat{A C B}$ .

Trong tam giác ABC vuông tại A: $\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Suy ra $\hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C}$ .

Trong tam giác ABH vuông tại H: $\hat{B A H} + \hat{A B H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Suy ra $\hat{B A H} = 90 ° - \hat{A B H}$ .

Do đó $\hat{A C B} = \hat{B A H}$ .

Mà $\hat{A C B} = \hat{A D B}$ nên $\hat{A D B} = \hat{B A H}$ .

Bài 4 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE $⊥$ AN (E $\in$ AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

a) Xét $△$ BEA vuông tại E và $△$ BEN vuông tại E có:

BA = BN (theo giả thiết).

BE chung.

Suy ra $△$ BEA = $△$ BEN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\hat{E B A} = \hat{E B N}$ (2 góc tương ứng).

Mà BE nằm trong $\hat{A B N}$ nên BE là tia phân giác của $\hat{A B N} .$

b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.

Do đó NK $⊥$ AB.

Mà AC $⊥$ AB nên NK // AC.

c) Do BE là tia phân giác của $\hat{A B N}$ nên $\hat{A B E} = \hat{N B E}$ .

Xét $Δ A B F$ và $Δ N B F$ có:

AB = NB (theo giả thiết).

$\hat{A B F} = \hat{N B F}$ (chứng minh trên).

BF chung.

Do đó $Δ A B F = Δ N B F$ (c.g.c).

Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và $\hat{B A F} = \hat{B N F} = 90 °$ (2 góc tương ứng).

Do đó FN $⊥$ BC.

Xét $Δ A F G$ vuông tại A và $Δ N F C$ vuông tại N có:

AF = NF (chứng minh trên).

$\hat{A F G} = \hat{N F C}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $Δ A F G = Δ N F C$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).

Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Bài 5 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\hat{B M N} = \hat{H A C}$ .

b) Kẻ MI $⊥$ AH (I $\in$ AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH

a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC.

Xét $Δ B M N$ vuông tại N và $Δ C M N$ vuông tại N có:

MB = MC (chứng minh trên).

MN chung.

Do đó $Δ B M N = Δ C M N$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{B M N} = \hat{C M N}$ (2 góc tương ứng) (1).

Do MN $⊥$ BC, AH $⊥$ BC nên MN // AH.

Do đó $\hat{C M N} = \hat{H A C}$ (2 góc đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B M N} = \hat{H A C}$ .

b) Do $Δ B M N = Δ C M N$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\hat{M B N} = \hat{M C N}$ (2 góc tương ứng).

Do MI $⊥$ AH, BC $⊥$ AH nên MI // BC.

Do đó $\hat{A M I} = \hat{M C N}$ (2 góc đồng vị) và $\hat{K M I} = \hat{M B N}$ (2 góc so le trong).

Do đó $\hat{A M I} = \hat{K M I}$ .

Xét $Δ A M I$ vuông tại I và $Δ K M I$ vuông tại I có:

$\hat{A M I} = \hat{K M I}$ (chứng minh trên).

MI chung.

Do đó $Δ A M I = Δ K M I$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng).

Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.

Bài 6 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng $Δ M F N = Δ P F D$ .

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

< Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G

a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.

Do đó FM = FP.

Xét $Δ M F N$ và $Δ P F D$ có:

MF = PF (chứng minh trên).

$\hat{M F N} = \hat{P F D}$ (2 góc đối đỉnh).

FN = FD (theo giả thiết).

Do đó $Δ M F N = Δ P F D$ (c.g.c).

b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

Do đó NG = $\frac{2}{3}$ NF.

Suy ra GF = $\frac{1}{3}$ NF.

Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.

Suy ra HF = $\frac{1}{3}$ NF.

Mà NF = DF nên HF = $\frac{1}{3}$ DF.

Suy ra DH = $\frac{2}{3}$ DF.

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = $\frac{2}{3}$ DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.

Bài 7 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác $\hat{B A C}$ (D $\in$ BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH $⊥$ KC.

Lời giải:

a) Do E là trung điểm của AC nên AE = $\frac{1}{2}$ AC.

Mà AB = $\frac{1}{2}$ AC nên AE = AB.

Do AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ nên $\hat{B A D} = \hat{E A D}$ .

Xét $Δ B A D$ và $Δ E A D$ có:

AB = AE (chứng minh trên).

$\hat{B A D} = \hat{E A D}$ (chứng minh trên).

AD chung.

Do đó $Δ B A D = Δ E A D$ (c.g.c).

Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).

b) Do $Δ B A D = Δ E A D$ (c.g.c) nên $\hat{A D B} = \hat{A D E}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\hat{K D B} = \hat{C D E}$ (2 góc đối đỉnh) nên $\hat{A D B} + \hat{K D B} = \hat{A D E} + \hat{C D E}$ hay $\hat{A D K} = \hat{A D C}$ .

Xét $Δ A D K$ và $Δ A DC$ có:

$\hat{D A K} = \hat{D A C}$ (chứng minh trên).

AD chung.

$\hat{A D K} = \hat{A D C}$ (chứng minh trên).

Do đó $Δ A D K = Δ A DC$ (g.c.g).

Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D.

Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB.

Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.

c) Do AD là đường phân giác của $\hat{B A C}$ nên $\hat{B A D} = \hat{C A D}$ hay $\hat{K A H} = \hat{C A H}$ (2 góc tương ứng).

Xét $△$ KAH và $△$ CAH có:

AK = AC (chứng minh trên).

$\hat{K A H} = \hat{C A H}$ (chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra $△$ KAH = $△$ CAH (c.g.c).

Do đó $\hat{A H K} = \hat{A H C}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\hat{A H K} + \hat{A H C} = 180 °$ nên $\hat{A H K} + \hat{A H K} = 180 °$ hay $2 \hat{A H K} = 180 °$ .

Suy ra $\hat{A H K} = \hat{A H C} = 90 °$ .

Do đó AH $⊥$ KC.

Bài 8 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Ở Hình 1, cho biết AE = AF và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ . Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.

Ở Hình 1, cho biết AE = AF và góc ABC = ACB

Lời giải:

Tam giác ABC có $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1).

Mà AE = AF nên AB – AE = AC – AF hay BE = CF.

Xét $Δ E B C$ và $Δ F C B$ có:

BE = CF (chứng minh trên).

$\hat{E B C} = \hat{F C B}$ (theo giả thiết).

BC chung.

Do đó $Δ E B C = Δ F C B$ (c.g.c).

Suy ra $\hat{E C B} = \hat{F B C}$ (2 góc tương ứng) hay $\hat{H C B} = \hat{H B C}$ .

Tam giác HBC có $\hat{H C B} = \hat{H B C}$ nên tam giác HBC cân tại H.

Do đó HB = HC.

Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC.

Bài 9 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H $\in$ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\hat{E B H} = \hat{A C M}$ .

c) Chứng minh rằng $E B ⊥ B C$ .

Lời giải:

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME.

Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME.

Do đó BM = BE.

Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.

b) Trong $Δ B H M$ vuông tại H: $\hat{H B M} + \hat{B M H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Suy ra $\hat{H B M} = 90 ° - \hat{B M H}$ .

Trong $Δ C A M$ vuông tại A: $\hat{A C M} + \hat{C M A} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Suy ra $\hat{A C M} = 90 ° - \hat{C M A}$ .

Mà $\hat{B M H} = \hat{C M A}$ (2 góc đối đỉnh) nên $\hat{H B M} = \hat{A C M}$ (1).

Xét $Δ B H E$ vuông tại H và $Δ B H M$ vuông tại H có:

BH chung.

HE = HM (theo giả thiết).

Do đó $Δ B H E = Δ B H M$ (2 cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{E B H} = \hat{M B H}$ (2 góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{E B H} = \hat{A C M}$ .

c) Do CM là tia phân giác của $\hat{B C A}$ nên $\hat{B C M} = \hat{A C M}$ .

Xét $Δ B H C$ vuông tại H: $\hat{H B C} + \hat{B C H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Suy ra $\hat{H B C} + \hat{A C M} = 90 °$ .

Mà $\hat{E B H} = \hat{A C M}$ nên $\hat{H B C} + \hat{E B H} = 90 °$ hay $\hat{E B C} = 90 °$ .

Do đó EB $⊥$ >BC.

Bài 10 trang 84 Toán lớp 7 Tập 2: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Lời giải:

Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K

Xét tam giác MIK có MJ $⊥$ IK, IN $⊥$ MK.

Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.

Do đó NK vuông góc với MI.

====== ****&**** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy