Cho hàm số  y=2x−x2. Chứng minh  y3.y”+1=0.

Câu hỏi:

Cho hàm số  $y=\sqrt{2x-x^2}$. Chứng minh  $y^3.{y^{‘}}^{‘}+1=0$.

Trả lời:

Ta có:  $y^{‘}={\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^{‘}\iff y‘=\frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}}.{\left(2x-x^2\right)}^{‘}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$.
${y^{‘}}^{‘}=\frac{{\left(1-x\right)}^{‘}.\sqrt{2x-x^2}-{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^{‘}.\left(1-x\right)}{{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^2}$
$=\frac{-\sqrt{2x-x^2}-\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}.\left(1-x\right)}{{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^2}$
$=\frac{-\left(2x-x^2\right)-{\left(1-x\right)}^2}{\sqrt{2x-x^2}.{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^2}=\frac{-1}{{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^3}$.
Ta có $y^3.{y^{‘}}^{‘}+1=0\iff {\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^3.\frac{-1}{{\left(\sqrt{2x-x^2}\right)}^3}+1=0\iff -1+1=0$
(điều phải chứng minh).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y=cos2x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số $y={\cos }^{2}x$.

   Trả lời:

   Ta có $y={\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)\Rightarrow y^{‘}=-\sin 2x$
   $\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=-2\cos 2x\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=4\sin 2x$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x−1x+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\frac{3x-1}{x+2}$.

   Trả lời:

   Ta có  $y^{‘}=\frac{7}{{\left(x+2\right)}^2}\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=\frac{-7{\left[{\left(x+2\right)}^2\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^4}=\frac{-14}{{\left(x+2\right)}^3}$
    $\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=\frac{14{\left[{\left(x+2\right)}^3\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^6}=\frac{42}{{\left(x+2\right)}^4}\Rightarrow y^{\left(4\right)}=\frac{-42{\left[{\left(x+2\right)}^4\right]}^{‘}}{{\left(x+2\right)}^8}=\frac{-168}{{\left(x+2\right)}^5}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y=sin22x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y={\sin }^{2}2x$.

   Trả lời:

   Ta có  $y={\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 4x\right)$
   $\Rightarrow y^{‘}=2\sin 4x\Rightarrow {y^{‘}}^{‘}=8\cos 4x\Rightarrow {{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=-32\sin 4x$
    $\Rightarrow y^{\left(4\right)}=-128\cos 4x\Rightarrow y^{\left(5\right)}=512\sin 4x$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm đạo hàm cấp của hàm số  y=sinxn∈ℕ*.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp của hàm số
    $y=\sin x\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

   Trả lời:

   Ta có: $y^{‘}=\cos x=\sin \left(x+1.\frac{\pi }{2}\right)$;
   ${y^{‘}}^{‘}=-\sin x=\sin \left(x+2.\frac{\pi }{2}\right)$;
   $y^{\left(n\right)}=\sin \left(x+n\frac{\pi }{2}\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  y=3x+1x−2 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  $y=\frac{3x+1}{x-2}$ .

   Trả lời:

   Ta có: $y^{‘}=\frac{-7}{{\left(x-2\right)}^2},{y^{‘}}^{‘}=\frac{7.2}{{\left(x-2\right)}^3},{{y^{‘}}^{‘}}^{‘}=\frac{-\mathrm{7.2.3}}{{\left(x-2\right)}^4}$ .
   Bằng quy nạp ta chứng minh  $y^{\left(n\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^n\mathrm{.7.}n!}{{\left(x-2\right)}^{n+1}}$ .  $\left(2\right)$
   Với  $n=1$ ta thấy  $\left(2\right)$ đúng.
   Giả sử  $\left(2\right)$ đúng với  $n=k$, tức là  $y^{\left(k\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k!}{{\left(x-2\right)}^{k+1}}$ .
   Ta có:   $y^{\left(k+1\right)}={\left(\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k}{{\left(x-2\right)}^{k+1}}\right)}^{‘}=-\frac{{\left(-1\right)}^k\mathrm{.7.}k!.\left(k+1\right)}{{\left(x-2\right)}^{k+2}}=\frac{{\left(-1\right)}^{k+1}\mathrm{.7.}\left(k+1\right)!}{{\left(x-2\right)}^{k+2}}$.
   Do đó  $\left(2\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$.
   Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số
    $y=\frac{3x+1}{x-2}$ là  $y^{\left(n\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^n\mathrm{.7.}n!}{{\left(x-2\right)}^{n+1}}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====