Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song. Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết: – Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau. – Nhịp cầu dài 30m. – Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Câu hỏi:

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.
Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:
– Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.
– Nhịp cầu dài 30m.
– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Trả lời:

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:

Độ dài của dây cáp tương ứng với tung độ của các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’.
Dây dài nhất tương ứng với điểm A và A’ trên đồ thị. Khi đó A(-15; 5) và A’(15; 5).
Dây ngắn nhất trên đồ thị tương ứng với điểm L trên đồ thị. Khi đó L(0; 0,8).
Gọi hàm số đi qua các điểm này có dạng y = ax² + bx + c.
Ta có hàm số đi qua A(-15; 5) nên thay x = -15 và y = 5 ta có: 225a – 15b + c = 5;
Ta có hàm số đi qua A(15; 5) nên thay x = 15 và y = 5 ta có: 225a + 15b + c = 5;
Ta có hàm số đi qua điểm L(0; 1) nên thay x = 0 và y = 1 ta có: b + c = 1;
Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}225a-15b+c=5\\ 225a+15b+c=5\\ c=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{225}\\ b=0\\ c=1\end{array}\right.$.
Suy ra ta có hàm số y = $\frac{4}{225}$x² + 1.
Hàm số có trục đối xứng là x = 0 hay chính là trục tung. Do đó các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K đối xứng với các điểm A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, K’ qua trục tung. Vì thế các điểm này có cùng tung đ

Vì nhịp cầu dài 30 m nên khoảng cách giữa các dây cáp là: 30: 20 = 1,5 m.
Do đó hoành độ các điểm K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’ lần lượt là:
x_K’ = 1,5 ⇒ y_K’ = $\frac{26}{25}$ ⇒ K’$\left(\frac{3}{2};\frac{26}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm K và K’ là $\frac{26}{25}$.
x_I’ = 3 ⇒ y_I’ = $\frac{29}{25}$ ⇒ I’$\left(3;\frac{29}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm I và I’ là $\frac{29}{25}$.
x_H’ = 4,5 ⇒ y_H’ = $\frac{34}{25}$ ⇒ H’$\left(\frac{9}{2};\frac{34}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm H và H’ là $\frac{34}{25}$.
x_G’ = 6 ⇒ y_G’ = $\frac{41}{25}$ ⇒ G’$\left(6;\frac{41}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm G và G’ là $\frac{41}{25}$.
x_F’ = 7,5 ⇒ y_F’ = 2 ⇒ F’$\left(\frac{15}{2};2\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm F và F’ là 2.
x_E’ = 9 ⇒ y_E’ = $\frac{61}{25}$ ⇒ E’$\left(9;\frac{61}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm E và E’ là $\frac{61}{25}$.
x_D’ = 10,5 ⇒ y_D’ = $\frac{74}{25}$ ⇒ D’$\left(\frac{21}{2};\frac{74}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm D và D’ là $\frac{74}{25}$.
x_C’ = 12 ⇒ y_C’ = $\frac{89}{25}$ ⇒ C’$\left(12;\frac{89}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm H’ là $\frac{89}{25}$.
x_B’ = 13,5 ⇒ y_B’ = $\frac{106}{25}$ ⇒ B’$\left(\frac{27}{2};\frac{106}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm B và B’ là $\frac{106}{25}$.
x_A’ = 15 ⇒ y_A’ = 5 ⇒ A’$\left(15;5\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm A và A’ là 5.
Vì cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cap để neo cố định nên tổng độ dài các dây cáp là:
$2.\left(\frac{26}{25}+\frac{29}{25}+\frac{34}{25}+\frac{41}{25}+2+\frac{61}{25}+\frac{74}{25}+\frac{89}{25}+\frac{106}{25}+5\right)+2.\left(\frac{26}{25}+\frac{29}{25}+\frac{34}{25}+\frac{41}{25}+2+\frac{61}{25}+\frac{74}{25}+\frac{89}{25}+\frac{106}{25}+5\right).0,5\%=\frac{2667}{50}m$
 
Vậy tổng độ dài dây cáp cần dùng $\frac{2667}{50}m.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Các hàm số này có chung đặc điểm gì? y = ax2; y = a(x – m)(x – n); y = ax2 + bx; y = a(x – h)2 + k; y = ax2 + bx + c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Các hàm số này có chung đặc điểm gì?
   y = ax²;
   y = a(x – m)(x – n);
   y = ax² + bx;
   y = a(x – h)² + k;
   y = ax² + bx + c.

   Trả lời:

   Ta có:
   y = a(x – m)(x – n) = ax² – a(m + n)x + a.m.n.
   y = a(x – h)² + k = ax² – 2ahx + ah² + k.
   Các hàm số đã cho đều là các hàm số bậc hai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai? a) y = 2x(x – 3); b) y = x(x2 + 2) – 5; c) y = -5(x + 1)(x – 4).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?
   a) y = 2x(x – 3);
   b) y = x(x² + 2) – 5;
   c) y = -5(x + 1)(x – 4).

   Trả lời:

   a) Xét hàm số: y = 2x(x – 3) = 2x² – 6x.
   Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.
   b) Xét hàm số: y = x(x² + 2) – 5 = x³ + 2x – 5.
   Bậc cao nhất của hàm số là bậc ba.
   c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5x²  + 15x + 20.
   Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.
   Vậy hàm số ở ý a) và c) là các số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số nào trong các hàm số đã cho ở hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào trong các hàm số đã cho ở hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?

   Trả lời:

   Các hàm số ở hoạt động khám phá 1:
   a) y = 2x(x – 3) = 2x² – 6x là hàm số bậc hai với a = 2, b = – 6, c = 0.
   b) y = x(x² + 2) – 5 = x³ + 2x – 5 không là hàm số bậc hai
   c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5x²  + 15x + 20 là hàm số bậc hai với a = -5, b = 15, c = 20.
   Vậy hàm số ở ý a) và c) là các hàm số bậc hai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. a) Xét hàm số: y = f(x) = x2 – 8x + 19 = (x – 4)2 + 3 có bảng giá trị: x 2 3 4 5 6 f(x) 7 4 3 4 7 Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1). Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = x2 trên Hình 1. b) Tương tự, xét hàm số: y = g(x) = – x2 + 8x – 13 = – (x – 4)2 + 3 có bảng giá trị: x 2 3 4 5 6 g(x) -1 2 3 2 -1 Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2). Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = – x2 trên Hình 2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Xét hàm số: y = f(x) = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 có bảng giá trị:

   x

   2

   3

   4

   5

   6

   f(x)

   7

   4

   3

   4

   7

   Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).
   Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = x² trên Hình 1.
   

   b) Tương tự, xét hàm số: y = g(x) = – x² + 8x – 13 = – (x – 4)² + 3 có bảng giá trị:

   x

   2

   3

   4

   5

   6

   g(x)

   -1

   2

   3

   2

   -1

   Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).
   Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = – x² trên Hình 2.
   

   Trả lời:

   a) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu đỏ trên hình vẽ:
   

   Nhận xét:
   Về hình dáng của đường cong màu đỏ giống với hình dáng của đường cong màu xanh là một đường cong parabol.
   – Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.
   – Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).
   – Bề lõm của đồ thị hướng lên trên.
   b) ) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu cam trên hình vẽ:
   

   Nhận xét:
   Về hình dáng của đường cong màu cam giống với hình dáng của đường cong màu tím là một đường cong parabol.
   – Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.
   – Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).
   – Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số ở ví dụ 2a. Nếu nhận xét về hai đồ thị này.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Vẽ đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số ở ví dụ 2a. Nếu nhận xét về hai đồ thị này.

   Trả lời:

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = x² – 4x + 3 là một parabol (P):
   – Có đỉnh S với hoàng độ x_S = 2, tung độ y_S = -1;
   – Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
   – Bề lõm quay lên trên vì a = 1 > 0;
   – Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
   

   So với đồ thị của hàm số ở ví dụ 2 a) ta thấy:
   – Hai đồ thị đều là đường cong parabol.
   – Hai đồ thị có cùng trục đối xứng x = 2.
   – Đồ thị ở ví dụ 2a) có bề lõm hướng xuống dưới, còn đồ thị hàm số này có bề lõm hướng lên trên.
   – Hai tọa độ đỉnh của hai đồ thị hàm số đối xứng qua trục Ox.
   – Giao điểm của đồ thị hàm số ở ví dụ 2a) với trục tung đối xứng với giao điểm của đồ thị hàm số này với trục tung.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====