BỘ 20 Đề thi Học kì 1 Toán lớp 8 năm 2022 – 2023 có đáp án

Câu

Đáp án

Biểu điểm

Phần I. Trắc nghiệm

Câu 1: (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

1 – S; 2 – Đ; 3 – Đ; 4 – S.

Câu 2: (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

1 – B; 2 – D; 3 – C; 4 – A.

Phần II. Tự luận

1

(1,0 đ)

0,25 đ

0,25đ

= 2x + 5.

0,25đ

0,25đ

0,25 điểm

0,25 điểm

2

(2,0 đ)

a. 4x² – 9 ≠ 0 ⇔ (2x – 3)(2x +3) ≠ 0 ⇔ 

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

c. Thay  vào biểu thức A, ta được:

0,25đ

0,25đ

3

(3,5 đ)

– Vẽ đúng hình

(Nếu HS vẽ chưa hoàn chỉnh thì cho 0,25đ)

0,5đ

a) ΔABC vuông tại A

⇒ AB² + AC² = BC² (định lý Py–ta–go)

AC² = BC² – AB² = 25² – 15² 

= 625 – 225 = 400 

⇒ AC = √400 = 20 (cm) (AC > 0)

= 150 (cm²)

0,25đ

0,25 điểm

0,5 điểm

b) Tứ giác ADHE có: ∠DAE = 90⁰ (gt)

∠ADH = 90⁰ (HD ⊥ AB)

∠AEH = 90⁰ (HE ⊥ AC)

Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

0,5đ

0,5đ

c) Ta có AF = AE (gt), AE = DH (tứ giác ADHE là hình chữ nhật) ⇒ AF = DH

Tứ giác AFDH có AF // DH, AF = DH 

⇒ Tứ giác AFDH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

0,25đ

0,25đ

d) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng BH

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

⇒ MN là đường trung bình của tam giác HAB 

⇒ MN // AB

Mà AB ⊥ AC (∠A = 90⁰)

Nên MN ⊥ AC

⇒ ΔACN có MN, AH là hai đường cao cắt nhau tại M

⇒ M là trực tâm của tam giác CAN

⇒ CM là đường cao của tam giác CAN ⇒ AM ⊥ AN

Mặt khác A, N lần lượt là trung điểm của BK, HB

⇒ AN là đường trung bình của tam giác BKH 

⇒ AN // HK

Ta có CM ⊥ AN, AN // HK

Vậy CM ⊥ HK

0,25 đ

0,25 đ

4 

(0,5 đ)

Biến đổi 

5x² + 5y² + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0

⇔ 4(x² + 2xy + y²) + (x² – 2x + 1) + (y² + 2y + 1) = 0

⇔ 4(x + y)²+ (x – 1)² + (y + 1)² = 0

Vì (x + y)² ≥ 0, (x – 1)² ≥ 0, (y + 1)² ≥ 0 với mọi x,        

Thay x = 1 và y = -1 vào M 

M = (x + y)²⁰⁰⁷ + (x – 2)²⁰⁰⁸ + (y + 1)²⁰⁰⁹ = 0 + 1 + 0 = 1

0,25 đ

0,25 đ

Câu

Đáp án

Biểu điểm

Phần I. Trắc nghiệm

(Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

1 – C; 2 – A; 3 – A; 4 – C; 5 – D; 6 – D.

Phần II. Tự luận

1

(2,0 đ)

a) Điều kiện xác định: 

x² + x ≠ 0 ⇔ x(x + 1) ≠ 0 ⇔ 

0,25 đ

0,5đ

0,25 đ

b) Ta có |x + 2| = 1 ⇔ 

Thay x = -3 (TMĐK) vào A, ta được:

0,5đ

0,25đ

c) Xét A = 

⇔ 2(x – 3) = x + 1

⇔ 2x – 6 = x + 1

⇔ 2x – x = 1 + 6

⇔ x = 7

0,25đ

2

(1,5 đ)

a) 5x(x – 3) – x² + 9 = 0          

⇔ 5x(x – 3) – (x² – 9) = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3)(x + 3) = 0                          

⇔ (x – 3)(5x – x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(4x – 3) = 0

Vậy x ∈ 

0,25đ

0,25đ

b) x + 4x² + 4x³ = 0 

⇔ x(1 + 4x + 4x²) = 0

⇔ x(4x² + 4x + 1) = 0

⇔ x(2x + 1)² = 0

Vậy x ∈ 

0,25đ

0,25đ

c) 

Điều kiện xác định: 

(x + 1)(x – 2) ≠ 0 ⇔ 

⇔ x + 2 = 0

⇔ x = -2 (TMĐK)

Vậy x = -2.

0,25đ

0,25đ

3

(3,5 đ)

– Vẽ đúng hình

(Nếu HS vẽ chưa hoàn chỉnh thì cho 0,25đ)

0,5đ

a) Xét tứ giác AECD, có:

Hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O

O là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của DE (E đối xứng với D qua O)

Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.

Ta lại có AD ⊥ BC ⇒ ∠ADC = 90⁰

⇒ AECD là hình chữ nhật.

0,25đ

0,5 đ

0,5 đ

b) Vì AECD là hình chữ nhật nên AD = CD và AD // CD hay AD // BD.

Xét ΔABC cân tại A, có AD là đường cao nên AD cũng là đường là đường trung tuyến 

⇒ D là trung điểm của BC.

⇒ BD = DC

Mà AD = DC

⇒ AD = DB

Xét ABDE có AD = DB và AD // BD nên ABDE là hình bình hành

Mặt khác I là trung điểm AD

Do đó I là trung điểm của BE.

0,5đ

0,5đ

c) Ta có: BD = DC =  = 6cm(D là trung điểm của BC)

Xét tam giác ADC có:

O là trung điểm AC

I là trung điểm của AD

⇒ OI là đường trung bình tam giác ADC

⇒ OI // DC và 

Mà DC ⊥ AD(gt)

⇒ OI ⊥ AD

Xét ΔABD vuông tại D, có:

AB² = AD² + DB² (định lý Py – ta – go)

10² = AD² + 6²

100 = AD² + 36

AD² = 100 – 36 

AD² = 64

AD = 8 cm.

Diện tích tam giác OAD là:

0,25đ

0,25đ

d) Ta có ABDE là hình bình hành nên AB // DE hay AK // DE 

Suy ra AKDE là hình thang. 

Nên để AKDE là hình thang cân thì ∠AED = ∠KDE (hai góc kề một đáy bằng nhau)

Mà ∠AED = ∠ABD (hai góc đối trong hình bình hành ABDE)

Tứ giác AODK có hình bình hành nên ∠KAO = ∠KDE

⇒ ∠KAO = ∠ABC

⇒ ΔABCđều.

0,25 đ

0,25 đ

Câu

Đáp án

Biểu điểm

Bài 1

(1,0 đ)

a) x² – 4y² 2x + 4y

= (x² – 2x + 1) – (4y² – 4y + 1)

= (x – 1)² – (2y – 1)²

= (x – 1 + 2y – 1)(x – 1 – 2y + 1)

= (x + 2y – 2)(x – 2y)

0,25 đ

0,25 đ

b) (x² + 2x)(x² + 2x – 2) – 3

= [(x² + 2x – 1) + 1][(x² + 2x – 1) – 1] – 3

= (x² + 2x – 1)² – 2²

= (x² + 2x + 1)(x² + 2x – 3)

= (x + 1)² (x – 1)(x + 3)

0,25đ

0,25đ

Bài 2

(0,5 đ)

Ta có: 

= (x² + 4xy + 4y²) + (-2x – 4y) + 10

= (x + 2y)² – 2(x + 2y) + 10

Thay x + 2y = 5 vào biểu thức A, ta có:

A= 5² – 2.5 + 10 = 25 – 10 + 10 = 25.

Vậy với x + 2y = 5 thì A = 25.

0,25đ

0,25đ

Bài 3

(2,0 đ)

a) Điều kiện xác định:

0,25đ

0,25đ

0,25

0,25đ

b) Ta có x² = 9

x = 3 (Loại) hoặc x = – 3 (TMĐK)

Thay x = – 3 (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

Vậy giá trị của biểu thức A là 

0,25đ

0,25đ

c) Ta có: B = A.(x² – 5x + 4)

= (x – 2)(x – 1)

= x² – 3x + 2 

Vì  với mọi x thỏa mãn điều kiện

Dấu “ = “ xảy ra khi 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 

0,25đ

0,25đ

3

(2, 0 đ)

a) Đặt tính: 

Vậy đa thức thương là x² – 3x + 5 và đa thức dư là 7. 

0,5đ

0,5 đ

b) Đặt tính:

Để đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) thì a + 24 = 0 ⇔ a = -24.

Vậy với a = -24 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x).

0,5đ

0,25đ

0,25đ

5

(3,0 đ)

– Vẽ đúng hình

(Nếu HS vẽ chưa hoàn chỉnh thì cho 0,25đ)

0,5đ

a) Xét tam giác ABD có AB = AD (do ABCD là hình thoi)

Suy ra ΔABD cân 

Mà ∠BAD = 60⁰ nên ΔABD đều

Ta lại có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến của ΔABD.

⇒ H là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABDE có hai đường chéo AD và BE cắt nhau tại H

H là trung điểm của BE (do B và E đối xứng với nhau qua H)

H là trung điểm của AD (cmt)

Do đó ABDE là hình bình hành 

Mà AD ⊥ BE tại H (gt).

⇒ ABDE là hình thoi.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

b) Ta có DE // AB (ABDE là hình thoi) và DC // AB (ABCD là hình thoi) nên ED, DC trùng nhau 

⇒ E, D, C thẳng hàng

Xét tứ giác ABCE có AB // DE nên tứ giác ABCE là hình thang (1)

Ta có: ∠BAD = ∠BCD = 60⁰ (hai góc đối trong hình thoi ABCD)

Do tam giác ABD đều nên AB = BD = AD = AE = DE

Suy ra tam giác AED đều 

⇒ ∠AED = 60⁰ 

⇒ ∠AED = ∠BCD (= 60⁰) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCE là hình thang cân.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

c) Vì ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC giao BD tại O nên O là trung điểm của AC

Xét tam giác ACF có:

O là trung điểm của AC (cmt)

B là trung điểm của CF (C và F đối xứng với nhau qua B)

Suy ra OB là đường trung bình của tam giác ACF.

⇒ OB // AF

Mà BD // AE (ABDE là hình thoi)

Do đó AF trùng với AE hay A, F, E thẳng hàng.

Xét ΔCFE, có : 

D là trung điểm của CE

AD // EF 

Suy ra A là trung điểm của EF.

Xét ΔKFE, có :

L là trung điểm của KE (gt)

A là trung điểm của EF (cmt)

⇒ AL là đường trung bình của tam giác FKE. 

⇒ AL // FK

0,25đ

0,25đ

Giả sử tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh như hình vẽ thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Khi đó, ta có: a, b, c là các số nguyên dương và 1 ≤ b ≤ c < a .

Diện tích tam giác ABC là: .

Chu vi tam giác ABC là: a + b + c.

Theo đầu bài, ta có: a + b + c = bc

⇔ 2(a + b + c) = bc (*)

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: a² + b² + c² (định lý Py – ta – go)

⇔ a² = (b + c)² – 2bc

⇔ a² = (b + c)² – 4(a + b + c)

⇔ a² = (b + c)² – 4a – 4(b + c)

⇔ a² + 4a = (b + c)² – 4(b + c)

⇔ a² + 4a + 4 = (b + c)² – 4(b + c) + 4

⇔ (a + 2)² = (b + c – 2)²

⇔ a + 2 = b + c – 2(b + c ≥ 2)

⇔ a = b + c – 4 

Thay a = b + c – 4 vào (*) ta được:

2(b + c – 4 + b + c) = bc 

4b + 4c – 8 – bc = 0

(4b – bc) + (4c – 16) = – 8

b(4 – c) + 4(c – 4) = – 8

(b – 4)(4 – c) = – 8 

(b – 4)(c – 4) = 8 

Vì b, c là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

TH1: 

TH2:                                          

Vậy có hai tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là hai tam giác có các kích thước là: (6, 8, 10) và (5, 12, 13).

0,25đ

0,25đ

Câu

Nội dung

Điểm

1

(1,0 điểm)

a) 2x.(x² – x + 3) = 2x³ – 2x² + 6x

0,5

b) (3 – 2x).(2x + 3) = 9 – 4x²

0,5

2

(1,5 điểm)

a) 2x² + 4x

= 2x(x + 2)

0.5

b) 2(x – y) + a(y – x)

= 2(x – y) – a(x – y)

= (2 – a)(x – y)                         

0.25

0.25

c) x² + y² – 2xy – 4 = (x² + y² – 2xy) – 4

                             = (x – y – 2)(x – y + 2)

0.25

0.25

3

(3,0 điểm)

1) (1,5 điểm)

a) 2x² + x = 0

⇒ x(2x + 1) = 0

Vậy 

0.25

0.5

0.25

b) 2x(x – 5) – x(3 + 2x) = 26

⇒ 2x² – 10x – 3x -2x² = 26

⇒ -13x = 26

⇒ x = -2

Vậy x = -2

0.25

0.5

0.25

2) (1 điểm)

34² + 16² + 32.34 = 34² + 16² + 2.16.34

                             = (34 + 16)²

                             = 50² = 2500

0.25

0.5

0,25

4

(3.0 điểm)

– Vẽ hình đúng để làm được ý a

0,25

a) (1 điểm)

– Chỉ ra được tứ giác DEBF là hình bình hành

1.0

b) (0,75 điểm). Gọi O là giao điểm của AC và BD

– Chỉ ra trong hbh ABCD có O là trung điểm O của AC và BD  (1)

– Chỉ ra trong hbh có BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF      (2)

– Từ (1) và (2) ⇒ đpcm

0.25

0.25

0.25

c) (1 điểm)

– Chỉ ra được M là  trọng tâm của ΔABD ⇒ OM = OA

– Chỉ ra được N là trọng tâm của ΔBCD ⇒ ON = OC

– Mà OA = OC ⇒ OM = ON 

⇒ đpcm

0.25

0.25

0.25

0.25

5

(1,0 điểm) 

– Chỉ ra được BC là đường trung bình của tam giác AMN

– Tính được BC = 27,5m

0,5

0,5

6

(0,5 điểm) 

a) (0,25 điểm) 

Từ: a²⁰²² + b²⁰²² + c²⁰²² = a¹⁰¹¹b¹⁰¹¹ + b¹⁰¹¹c¹⁰¹¹ + c¹⁰¹¹a¹⁰¹¹

⇒ 2(a²⁰²² + b²⁰²² + c²⁰²²) = 2(a¹⁰¹¹b¹⁰¹¹ + b¹⁰¹¹c¹⁰¹¹ + c¹⁰¹¹a¹⁰¹¹)

⇒ (a¹⁰¹¹ – b¹⁰¹¹)² + (b¹⁰¹¹ – c¹⁰¹¹)² + (c¹⁰¹¹ – a¹⁰¹¹)²

⇒ a = b = c

⇒ A = (a – b)²⁰²⁰ + (b – c)²⁰²¹ + (a – c)²⁰²² = 0

0.25

b) (0,25 điểm) 

Vì a + b + c = 0

⇒ (a + b + c)² = 0

⇒ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0

⇒ a² + b² + c² = – 2(ab + bc + ca) 

⇒ (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) + 8abc(a + b + c)

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) + 8abc.0 (do a + b + c = 0)

⇒ 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²)

⇒ 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) =  (a² + b² + c²)²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 

0,25

Câu

Đáp án

Biểu điểm

1

(1,0 đ)

a. Nêu đúng tính chất ĐTB của tam giác như SGK

Đường trung bình của một tam giác song song với cạnh đáy và bằng một nửa cạnh đáy.

0,5 đ

b. – Vẽ hình đúng

– Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN =  = 5cm

0,25đ

0,25đ

1

(2,0 đ)

a. – Nhóm đúng (3a +3b) – (a² + ab)

– Đặt nhân tử chung đúng 3(a + b) – a(a + b)

– Đúng kết quả (a + b)(3 – a)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

b. – Nhóm đúng (x² – 2xy + y²) + (x – y)

– Dùng đúng  H ĐT (x – y)² + (x – y)

– Đúng kết quả (x – y)(x – y + 1)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

c. – Tách đúng – (x² – x – 6x + 6)

                       = – [x(x – 1) – 6(x – 1)]

                       = – (x – 1)(x – 6)

( Nếu HS tách đúng nhưng không làm tiếp thì vẫn cho 0,25 đ)

0,25đ

0,25đ

3

(2, 0 đ)

a. – Cộng tử và giữ nguyên mẫu đúng:

– Thu gọn đúng hạng tử đồng dạng:

– Đúng kết quả 

0,25đ

0,25đ

0,5 đ

b. – Quy đồng đúng trong 2 dấu ngoặc

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

4

(2,0 đ)

a. Biến đổi A = 

– Tìm đúng ĐK: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2

0,5đ

0,5đ

b. Rút gọn biểu thức A:

Thay A = 2

⇔ 3x² = 2(x² + 1)

⇔ 3x² = 2x² + 2

⇔ x² = 2

 (thỏa mãn điều kiện)

– Kết luận: Vậy x = √2 hoặc x = -√2

0,25đ

0,5đ

0,25 điểm

5

(3,0 đ)

– Vẽ đúng hình

(Nếu HS vẽ chưa hoàn chỉnh thì cho 0,25đ)

0,5đ

a. Chứng minh đúng ANIM là hình chữ nhật có 3 góc vuông:

Xét tứ giác ANIM có:

∠BAC = ∠IMA = ∠INA = 90⁰

Suy ra tứ giác ANIM là hình chữ nhật.

0,75đ

b. – Giải thích được IN vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác AIC:

Xét ΔAIC, có: AI = BC = IB = IC(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC)

⇒ ΔAIC cân tại I

Mà IN ⊥ AC hay IN là đường cao 

⇒ IN là đường trung tuyến

⇒ N là trung điểm của AC.

– Chứng minh ADCI là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc:

Xét tứ giác ADCI, có:

Hai đường chéo AC và AI cắt nhau tại N.

Mà N là trung điểm của AC, N là trung điểm của DI.

Suy ra tứ giác ADCI là hình bình hành.

Mặt khác AC ⊥ DI tại N

Do đó tứ giác ADCI là hình thoi. 

0,5đ

0,5đ

c. – Kẻ thêm đường thẳng qua I song song với BK cắt CD tại E và chứng minh được EK = EC:

Kẻ đường thẳng qua I song song với BK cắt CD tại E.

Xét ΔBKC, có:

I là trung điểm của BC (gt)

IE // BK 

Suy ra E là trung điểm của KC hay EC = EK (1).

– Chứng minh được EK = DK:

Xét ΔDIE, có:

N là trung điểm của DI (gt)

NK // IE (BK // IE)

Suy ra K là trung điểm của DE hay DK = KE (2)

– Từ (1) và (2) Suy ra 

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Câu

Đáp án

Biểu điểm

Phần I. Trắc nghiệm

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

1 – D; 2 – B; 3 – C; 4 – B.

Phần II. Tự luận

Câu 1

(1,0 đ)

a) (x + 5)² – x(x + 10)

= x² + 10x + 25 – x² – 10x  

= (x² – x²) + (10x – 10x) + 25

= 25

0,5 đ

b) (18x⁶y⁶ – 12x⁵y⁵ + 24x³y⁵) : 6x³y⁵

= 18x⁶y⁶ : 6x³y⁵ – 12x⁵y⁵ : 6x³y⁵ + 24x³y⁵ : 6x³y⁵

= 3x³y – 2x²+ 4

0,5 đ

Câu 2

(1,5 đ)

a) a² – b² – 12a + 12b          

= (a² – b²) + (-12a + 12b)

= (a – b)(a + b) – 12(a – b)

= (a – b)(a + b – 12)

0,5đ

b) 4x² – 4x + 1 -25y²

= (4x² – 4x + 1) – (5y)²

= (2x -1)² – (5y)²

= (2x -1 + 5y)(2x -1 – 5y)

0,5đ

c) x² – 3x – 10 

= x² + 2x – 5x – 10

= x(x + 2) – 5(x + 2)

= (x + 2)(x – 5)

0,5đ

Câu 3

(2,0 đ) 

a) 

0,5 đ

b) Điều kiện x ≠ 2, A = 

A có giá trị nguyên ⇔  có giá trị nguyên

⇔ 2 ⋮ (x – 2)

⇔ x – 2 là ước của của 2

⇔ x – 2 ∈ Ư(2) =

Ta có bảng sau:

Vậy x ∈ thì A có giá trị nguyên.

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

Câu 4

(3,5 đ)

– Vẽ đúng hình

(Nếu HS vẽ chưa hoàn chỉnh thì cho 0,25đ)

0,5đ

a) Xét ΔABM và ΔECM có: 

BM = CM (M là trung điểm của BC) 

∠AMB = ∠EMC (đối đỉnh), 

∠ABM = ∠ECM (so le trong và AB // CD)

Do đó ΔABM = ΔECM (g.c.g)

⇒ AB = EC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB // EC

Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

0,5đ

0,25 điểm

0,25 điểm

b) Ta có AB = CD, AB = CE 

⇒ CD = CE

Tứ giác BEFD có: 

C là trung điểm của DE, 

C là trung điểm của BF (B và F đối xứng của C)

Do đó tứ giác BEFD là hình bình hành Mà BF ⊥ DE

Vậy tứ giác BEFD là hình thoi

0,5đ

0,5đ

c) Ta có BC = CF, CM = BM =  (M là trung điểm của BC)

Suy ra FC = FM

Tam giác AEF có FM là đường trung tuyến, C thuộc đoạn thẳng FM và FC = FM ⇒ C là trọng tâm của tam giác AEF.

0,25đ

0,25đ

d) ΔABC vuông tại B ⇒ AB² + BC² = AC² (định lí Py-ta-go) 

Mà AB² = 3.BC²

Do đó AC² = 4BC² ⇒ AC = 2AB (AC > 0)

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Ta có AC = BD, O là trung điểm của AC, BD

Nên AC = BD = BF

Mặt khác O, H lần lượt là trung điểm của BD, DF 

⇒ HO là đường trung bình của tam giác DBF 

⇒ HO = 

ΔHAC có HO là đường trung tuyến và  ⇒ ΔHAC vuông tại H

⇒ AHC = 90⁰ 

Mà C, H lần lượt là trung điểm của DE, DF ⇒ CH là đường trung bình của tam giác DEF ⇒ CH // EF ⇒ ∠AKE = ∠AHC = 90⁰

Ta có tam giác KAE vuông tại K, KM là đường trung tuyến

Do đó KM = 

Vậy AE = 2MK

0,25 đ

0,25 đ