Giải SGK Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 50 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức:

a) C = |-3x| + 7x – 4 khi x ≤ 0;

b) D = 5 – 4x + |x – 6| khi x < 6.

Lời giải:

a) Vì x ≤ 0 nên – 3x ≥ 0 ⇒ |-3x| = -3x

Vậy C = |-3x| + 7x – 4 = -3x + 7x – 4 = 4x – 4

b) Vì x < 6 nên x – 6 < 0 ⇒ |x – 6| = -(x – 6) = 6 – x

Vậy D = 5 – 4x + |x – 6| = 5 – 4x + 6 – x = 11 – 5x

Câu hỏi 2 trang 51 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) |-5x| = 2x + 21.

Lời giải:

a)

+) Ta có: | x + 5| = x + 5 khi x + 5 ≥ 0 hay x ≥ -5

 | x+ 5| = – (x + 5) khi x + 5 < 0 hay x < – 5

Vậy để giải phương trình đã cho ta quy về giải hai phương trình:

+) Phương trình: x + 5 = 3x + 1 với điều kiện x ≥ -5

Ta có: x + 5 = 3x + 1

⇔ – 2x = – 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện x ≥ -5)

+) Phương trình: -(x + 5) = 3x + 1 với điều kiện x < -5

Ta có: -x – 5 = 3x + 1 ⇔ – 4x = 6

⇔ x = $\frac{-3}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện x < -5)

Vậy tập nghiệm của phương trình |x + 5| = 3x + 1 là S = {2}.

b)

+) Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 hay x ≤ 0

| – 5x| = 5x  khi – 5x < 0 hay x > 0

Vậy để giải phương trình đã cho ta quy về giải hai phương trình:

+) Phương trình: -5x = 2x + 21 với điều kiện x  0

⇔ -7x = 21 ⇔ x = -3 ( thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 )

+) Phương trình: 5x = 2x + 21 với điều kiện x > 0

⇔ 3x = 21

⇔ x = 7 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3; 7}.

Bài tập (trang 51)

Bài 35 trang 51 Toán 8 Tập 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0;

b) B = |-4x| – 2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0;

c) C = |x – 4| – 2x + 12 khi x > 5;

d) D = 3x + 2 + |x + 5|.

Lời giải:

a) – Khi x ≥ 0 ta có 5x ≥ 0 nên |5x| = 5x

Ta có: A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

Vậy A = 8x + 2 khi

– Khi x < 0 ta có 5x < 0 nên |5x| = -5x

Ta có: A = 3x + 2 – 5x = -2x + 2

Vậy A = -2x + 2 khi x < 0

b) – Khi x ≤ 0 ta có -4x ≥ 0 (nhân hai vế với số âm) nên |-4x| = -4x

Ta có:  B = -4x – 2x + 12 = -6x + 12

Vậy B = -6x + 12 khi x

– Khi x > 0 ta có -4x < 0 nên |-4x| = -(-4x) = 4x

Ta có: B = 4x – 2x + 12 = 2x + 12

Vậy B = 2x + 12 khi x > 0

c)- Khi x > 5 ta có x – 4 > 1 (trừ hai vế cho 4)

Hay x – 4 > 0 nên |x – 4| = x – 4

Ta có: C = x – 4 – 2x + 12 = -x + 8

Vậy C = -x + 8 khi x > 5

d) Ta có: |x + 5| = x + 5 khi x + 5 ≥ 0 hay x ≥ -5.

|x + 5| = -(x + 5) khi x + 5 < 0 hay x < -5.

Vậy :

+ Với x ≥ -5 thì D = 3x + 2 + x + 5 = 4x + 7.

+ Với x < -5 thì D = 3x + 2 – (x + 5) = 3x + 2 – x – 5 = 2x – 3.

Bài 36 trang 51 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình:

a) |2x| = x – 6 ;    

b) |-3x| = x – 8;

c) |4x| = 2x + 12 ;    

d) |-5x| – 16 = 3x.

Lời giải:

a) |2x| = x – 6 (1)

Ta có: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 hay x ≥ 0

|2x| = -2x khi 2x < 0 hay x < 0.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ Phương trình 2x = x – 6 với điều kiện x ≥ 0

2x = x – 6 $\iff 2x-x=-6$⇔ x = -6

Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của (1)

+ Phương trình: -2x = x – 6 với điều kiện x < 0

-2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của (1).

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) |-3x| = x – 8 (2)

Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0 hay x ≤ 0.

|-3x| = -(-3x) = 3x khi -3x < 0 hay x > 0.

Vậy phương trình (2) tương đương với:

+ Phương trình: -3x = x – 8 với điều kiện x ≤ 0

-3x = x – 8  $\iff -3x-x=-8$⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của (2).

+ Phương trình: 3x = x – 8 với điều kiện x > 0

3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của (2).

Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

c) |4x| = 2x + 12 (3)

Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

|4x| = -4x khi 4x < 0 hay x < 0.

Vậy phương trình (3) tương đương với:

+ Phương trình: 4x = 2x + 12 với điều kiện x ≥ 0

4x = 2x + 12 $\iff 4x-2x=12$ ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.   

Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của (3)

+ Phương trình: -4x = 2x + 12 với điều kiện x < 0

-4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của (3).

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm x = 6 và x = -2.

d) |-5x| – 16 = 3x (4)

Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 hay x ≤ 0.

|-5x| = -(-5x) = 5x khi -5x < 0 hay x > 0.

Vậy phương trình (4) tương đương với:

+ Phương trình: -5x – 16 = 3x với điều kiện x ≤ 0.

-5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16

⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của (4).

+ Phương trình: 5x – 16 = 3x với điều kiện x > 0.

5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16

⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm x = -2 và x = 8.

Bài 37 trang 51 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình:

a) |x – 7| = 2x + 3 ;    

b) |x + 4| = 2x – 5;

c) |x + 3| = 3x – 1;    

d) |x – 4| + 3x = 5.

Lời giải:

a) |x – 7| = 2x + 3 (1)

Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0 hay x ≥ 7.

|x – 7| = -(x – 7) = 7 – x khi x – 7 < 0 hay x < 7.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ Phương trình: x – 7 = 2x + 3 khi x ≥ 7

x – 7 = 2x + 3 $\iff 2x-x=-7-3$ ⇔ x = -10.

Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của (1).

+ Phương trình: 7 – x = 2x + 3 khi x < 7.

7 – x = 2x + 3 $\iff 2x+x=1-7$ ⇔ 3x = 4 ⇔ $x=\frac{4}{3}$

Giá trị  thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm $x=\frac{4}{3}$.

b) |x + 4| = 2x – 5 (2)

Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 hay x ≥ -4.

|x + 4| = -(x + 4) = -x – 4 khi x + 4 < 0 hay x < -4.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ Phương trình: x + 4 = 2x – 5 khi x ≥ -4

x + 4 = 2x – 5 $\iff 2x-x=4+9$ ⇔ x = 9

Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của (2).

+ Phương trình:  -x – 4 = 2x – 5 khi x < -4.

– x – 4 = 2x – 5 $\iff 2x+x=-4+5$ ⇔ 3x = 1 ⇔ $x=\frac{1}{3}$

Giá trị $x=\frac{1}{3}$ không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của (2)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 9.

c) |x + 3| = 3x – 1 (3)

Ta có : |x + 3| = x + 3 khi x + 3 ≥ 0 hay x ≥ -3.

|x + 3| = -(x + 3) = -x – 3 khi x + 3 < 0 hay x < -3.

Vậy phương trình (3) tương đương với:

+ Phương trình: x + 3 = 3x – 1 với điều kiện x ≥ -3

x + 3 = 3x – 1 $\iff 3x-x=3+1$ ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3 nên là nghiệm của phương trình (3).

+ Phương trình : -x – 3 = 3x – 1 với điều kiện x < -3

-x – 3 = 3x – 1 $\iff 3x+x=-3+1$ ⇔ 4x = -2 ⇔ $x=\frac{-1}{2}$.

Giá trị $x=\frac{-1}{2}$ không thỏa mãn điều kiện x < -3 nên không phải nghiệm của (3).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

d) |x – 4| + 3x = 5 (4)

+) Ta có: |x – 4| = x – 4 nếu hay x ≥ 4

|x – 4| = -(x – 4) = 4 – x nếu x – 4 < 0 hay x < 4

Vậy để giải phương trình (4) ta quy về giải hai phương trình

+) Phương trình: x – 4 + 3x = 5 với x ≥ 4

Ta có: x – 4 + 3x = 5 $\iff 4x=5+4$ ⇔ 4x = 9 ⇔  $x=\frac{9}{4}$ ( không thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 nên không là nghiệm của phương trình (4)).

+) Phương trình: 4 – x + 3x = 5 với x < 4

Ta có: 4 – x + 3x = 5 ⇔ 2x = 5 – 4 ⇔ 2x = 1 ⇔  $x=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện x < 4).

Vậy phương trình có nghiệm  $x=\frac{1}{2}$ .